中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，x17?x28?x3?90，x27，x37，x18，x38，x19，x29均大于．如果P的前三列构成的数表
?x11x12x1?3??xx S??x21222 3??xxx?33?3132??x1k???满足下面的性质(O)：对于数表P中的任意一列?x2k?（k?1，2，…，9）均存在某个
?x??3k?i??1，2，?3使得
xx⑶xik≤ui?min?x?1，i2，i3i．
求证：
（ⅰ）最小值ui?min?x1i，xi2，x?3i，i?1，2，3一定自数表S的不同列． ?x1k*???（ⅱ）存在数表P中唯一的一列?x2k*?，k*≠1，2，3使得3?3数表
??x???3k*??x11x121?xk*??S???xxx21222k*?
??x31x32x??3k*??仍然具有性质(O)．
【解析】
（ⅰ）假设最小值ui?min?x1i，xi2，x?3i，i?1，2，3不是取自数表S的
不同列．则存在一列不含任何ui．不妨设ui≠xi2，i?1，2，3．由于数表P中同一行中的任何两个元素都不等，于是ui?xi2，i?1，2，3．另一方面，由于数表S具有性质(O)，在3使得xi02≤ui0．矛盾． ⑶中取k?2，则存在某个i0??1，2，?（ⅱ）由抽届原理知，min?x11，x同一列．不妨设min?x21，x2?2??，min?x21，x2?2，min?x31，x3?2中至少有两个值取在
x，S的第一列?x31，x3?2?x．由前面的结论知数表22min3212一定含有某个ui，所以只能是x11?u1．同样，第二列中也必含某个ui，i?1，2．不妨设．于是u3?x33，即ui是数表S中的对角线上数字． x22?u2
?x11x12x1?3??S??x21x22x?23?xxx?33?3132?
下证唯一性．设有k?M使得数表
?x11x12x?k1?? S??x21x22xk?2
?xxx??3132k3?具有性质(O)，不失一般性，我们假定
x?1? u1?min?x11，x1，23x?2? ⑷u2?min?x21，x2，23x
11x 22x?3? u3?min?x31，x3，23x 33x．又由（ⅰ）知：或者11 x32?x3．1
u1?minx?由于x32?x3，?x11，x1，2k1?1x22?x2及（ⅰ），有1(b)u2?mi?nx21，x2，(a)u3?min?x31，x3，2xk?3?xk，或者32xk2??xk．2
如果(a)成立，由数表S具有性质(O)，则 x? u1?min?x11，x1，2k1?x， 11x ⑸u2?min?x21，x2，2k?2?x，22
u3?min?x31，x3，2xk?3?xk．3
3使得ui≥xik*．由数表S满足性质(O)，则对于3?M至少存在一个i??1，2，?由k*?I及⑷和⑹式知，x1k*?x11?u1，x3k*?x32?u3．于是只能有x2k*≤u2?2xk．类似地，由S?满??x2k*．从而k*?k． 足性质(O)及k?M可推得x2k≤u2
2009年全国高中数学联赛试题及详细解析 - 图文
