中考压轴题突破-几何最值问答全套汇编(将军饮马,造桥选址,胡不归,阿波罗尼斯圆等)

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【相似变换类】典型问题：“阿氏圆”

“阿氏圆”：知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆，如下图所示，其中PO：BO＝AO：PO＝PA：PB＝k。

例9.已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB与x轴交于点E，以点E为圆心，ED长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求 1/2AM+CM 的最小值。

简析：本题的主要问题在于如何转化1/2AM，注意到由条件知在M的运动过程中，EM：AE＝1：2保持不变，从而想到构造相似三角形，使之与△AEM的相似比为1：2，这样便可实现1/2AM的转化，如下图取EN：EM＝1：2，即可得△EMN∽△EAM，再得MN=1/2AM，显然，MN+CM的最小值就是定点N、C之间的最短路径。

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之后便是常规方法先求N点坐标，再求CN的长。

【解法大一统】

万法归宗：路径成最短，折线到直线。

（所求路径在一般情况下是若干折线的组合，这些折线在同一直线上时即为最短路径）

基本图形：动点有轨迹，动线居两边。

（动点轨迹可以是线或圆，动线指动点与定点或定线、定圆的连线，动线与折线同指）

核心方法：同侧变异侧，分散化连续。

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（动线在同侧进，要变为异侧，一般用翻折、三角、相似的方法构造；动折线被定长线段分散时需化为连续折线，一般用平移的方法构造，如造桥选址问题）

下图是构造完成的目标图形：

再举一例说明上述规律的运用方法：

1.如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径为2和1，P、E、F分别是CD、⊙A、⊙B上的动点，则PE+PF的最小值为 .