（Ⅱ）假设存在，抛物线x?2py与直线y?2x?2联立方程组得：
2x2?4px?4p?0，
设A?x1,y1?，B?x2,y2?，则x1?x2?4p，x1x2??4p，?Q?2p,2p?.
2QA?QB?2QA?QB，?QA?QB.
则QA?QB?0得：?x1?2p??x2?2p???y1?2p??y2?2p??0，
?x1?2p??x2?2p???2x1?2?2p??2x2?2?2p??0，
5x1x2??4?6p??x1?x2??8p2?8p?4?0，
代入得4p?3p?1?0， 解得p?21或p??1（舍去）. 4
4．设直线l：y=k（x+1）与椭圆x+3y=a（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，O为坐标原点．
222
3k2（Ⅰ）证明：a?；
1?3k22（Ⅱ）若
【思路引导】
，△OAB的面积取得最大值时椭圆方程．
（I）将直线l的方程为y=k（x+1）代入椭圆的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，
再结合直线l与椭圆相交于两个不同的点得到根的判别式大于0，从而解决问题． （II）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（I），得
，由
，得y2=
从而求得△OAB的面积，最后利用基本不等式求得其最大值，及取值最大值时的k值，从而△OAB的面积取得最大值时椭圆方程即可． 【详细解析】
上式取等号的条件是3k=1，即当当
时，由④解得时，由④解得
； ．
2
（9分）
将
2
及这两组值分别代入①，
均可解出a=5（11分） 经验证，a=5，
2
满足（☆）式．
2
2
所以，△OAB的面积取得最大值时椭圆方程是x+3y=5（12分）
5．已知点F是椭圆C的右焦点，A，B是椭圆短轴的两个端点，且△ABF是正三角形. （Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）直线l与以AB为直径的圆O相切，并且被椭圆C截得的弦长的最大值为2圆C的标准方程． 【思路引导】
（Ⅰ）设椭圆的标准方程为
，焦距为2c，由△ABF是正三角形，得
，求椭
a=2b，b=，由此能求出椭圆的离心率．
2
2
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，所以椭圆方程为x+4y=4b，设直线l与椭圆C的交点为M（x1，y1），N（x2，y2），若直线l与x轴垂直，则弦长|MN|=
2
2
2
2
2
，当直线l不垂直于x轴时，设
2
2
其方程为y=kx+m，与x+4y=4b联立，得：（1+4k）x+8kmx+4（m﹣b）=0，由此利用韦达定理、直线与圆相切性质，结合已知条件能求出椭圆C的方程． 【详细解析】
∴|MN|=（
2
）=（1+k）[（﹣
22
）﹣4?
2
]
=，①
∵直线l与圆O相切，∴，解得m=b（1+k），
222
代入①得|MN|=
2
?b=4b，
22
当且仅当3k=1+k，k=
22
时，等号成立．
，
∴此时|MN|max=2b，于是弦长|MN|的最大值为2b=2∴b=
，a=2
，
．
∴椭圆C的方程为
6．如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，
且|AB|=|BF|．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率； （Ⅱ）若点M（﹣
，
）在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P、Q两点，M为
线段PQ的中点，且OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．
【思路引导】 （Ⅰ）由已知得
，由此能求出
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=4b，设椭圆C：
22
．设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，
，得，直线l的方程为2x﹣y+2=0．由
，由此能求出椭圆C的方程．
【详细解析】
高考数学玩转压轴题专题3_1待定系数求方程,几何转至代数中1
