二元一次不等式组与平面区域

二元一次不等式（组）与平面区域 编稿：张希勇 审稿：李霞

【学习目标】

1. 了解不等式有丰富的实际背景,是刻画区域的重要工具. 2. 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 3. 理解并能画出二元一次不等式表示的平面区域. 【要点梳理】

要点一：二元一次不等式（组）的定义

1.二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式. 2.二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.

3.二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对(x,y)，所有这样的有序实数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.

要点诠释：注意不等式（组）未知数的最高次数. 要点二：二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：

二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，因此，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合.

二元一次不等式所表示的平面区域：

在平面直角坐标系中，直线l:Ax?By?C?0将平面分成两部分，平面内的点分为三类： ①直线l上的点（x，y）的坐标满足：Ax?By?C?0；

②直线l一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：Ax?By?C?0； ③直线l另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：Ax?By?C?0.

即二元一次不等式Ax?By?C?0或Ax?By?C?0在平面直角坐标系中表示直线

（虚线Ax?By?C?0的某一侧所有点组成的平面区域，直线Ax?By?C?0叫做这两个区域的边界，表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.

要点三：二元一次不等式表示哪个平面区域的确定 二元一次不等式表示的平面区域

由于对在直线Ax?By?C?0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标(x,y)代入Ax?By?C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0)，从Ax0?By0?C的正负即可判断

Ax?By?C?0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C?0时，常把原点作为此特殊点）

以上判定方法简称为“直线定界、特殊点定域”法. 不等式组所表示的平面区域

由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 1. 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：

因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.

2. 画二元一次不等式Ax?By?C?0(?0)或Ax?By?C?0(?0)表示的平面区域的基本步骤： ①画出直线l:Ax?By?C?0（有等号画实线，无等号画虚线）；

②当C?0时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当C?0时，另取一特殊点判断； ③确定要画不等式所表示的平面区域.

要点诠释： “直线定界，特殊点定域”二元一次不等式（组）表示平面区域的重要方法. 【典型例题】

类型一：二元一次不等式表示的平面区域

例1. 画出不等式2x?y?4?0表示的平面区域. 【解析】先画直线2x?y?4?0（画成虚线）. 取原点(0,0)代入2x?y?4得2?0?0?4??4?0, ∴原点不在2x?y?4?0表示的平面区域内， 不等式2x?y?4?0表示的区域如图：

【总结升华】

1. 画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当C?0时，常把原点作为此特殊点.

2. 虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线 举一反三：

【变式】画出下列不等式所表示的平面区域

（1）4x?3y?12； （2）x?1 【答案】

（1） （2）

类型二：二元一次不等组表示的平面区域

?x?y?5?0?例2. 用平面区域表示不等式组?x?y?0

?x?3?【思路点拨】

不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

【解析】不等式x－y+5≥0表示直线x－y+5＝0上及右下方的点的集合，x+y≥0表示直线x+y＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域：

【总结升华】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

举一反三：

?y??3x?12【变式1】用平面区域表示不等式组?.

x?2y?【解析】不等式y??3x?12表示直线y??3x?12右下方的区域，

x?2y表示直线x?2y右上方的区域，

取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集.

【变式2】画出下列不等式组表示的平面区域.

?x?3?x?y?2?2?x?y?3?2y?x?x?2y?3?x?2y?4???（1）?； （2）?； （3）?.

3x?2y?6x?0x?0??????y?0?2y?x?6?y?0?【答案】

（1） （2） （3）

【变式3】由直线x?y?2?0，x?2y?2?0和x?1?0围成的三角形区域（如图）用不等式组可表示为 .

?x??1?【答案】?x?2y?2?0

?x?y?2?0?例3. 画出下列不等式表示的平面区域 (1) (x?y)(x?y?1)?0； (2) x?y?2x

【思路点拨】将原不等式等价转化为不等式组，然后画图. 【解析】

(1) 原不等式等价转化为??x?y?0?x?y?0或?（无解），

?x?y?1?0?x?y?1故点(x,y)在区域??x?y?0内，如图：

?x?y?1?0

?y?0?y?0??(2) 原不等式等价为?x?y?0或?x?y?0，如图

?2x?y?0?2x?y?0??

【总结升华】把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解 举一反三：

【变式1】用平面区域表示不等式(x?y?1)(x?y?4）?0 【答案】

【变式2】用平面区域表示不等式

（1）y?x?1； （2）x?y； （3）x?y 【答案】

（1） （2） （3）