●高考明方向 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．
3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
★备考知考情
1.对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，利用奇偶函数图象的特点解决相关问题，利用函数奇偶性求函数值，根据函数奇偶性求参数值等．
2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题．
3.多以选择题、填空题的形式出现.
一、知识梳理《名师一号》P18 注意：
研究函数奇偶性必须先求函数的定义域
知识点一 函数的奇偶性的概念与图象特征
1.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 2.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
1
3.奇函数的图象关于原点对称； 偶函数的图象关于y轴对称.
知识点二 奇函数、偶函数的性质
1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同， 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 2. 若f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，则f(0)?0. 3. 若f(x)为偶函数，则f(x)?f(?x)?f(|x|). 《名师一号》P19 问题探究 问题1
奇函数与偶函数的定义域有什么特点？
(1)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
(2)判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的 每一个x， 均有f(－x)＝－f(x)、f(－x)＝f(x)，
而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．
(补充)
1、若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)?0．
f(0)?0是f(x)为奇函数的
既不充分也不必要条件 2．判断函数的奇偶性的方法 （1）定义法：
1)首先要研究函数的定义域，
2
2)其次要考虑
f?x?与f??x?的关系，
也可以用定义的等价形式：
f(x)?f(?x)?0（对数型函数用），
f(x) ． ??1（指数型函数用）
f(?x) 3)分段函数应分段讨论
（2）图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断． （3）复合函数奇偶性的判断
若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依 若干个函数的奇偶性而定，概括为 “同奇为奇，一偶则偶”．
注意：证明函数的奇偶性的方法只有定义法
知识点三 函数的周期性 1.周期函数：
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称非零常数T为这个函数的周期．
2．最小正周期：
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 并不是任何周期函数都有最小正周期， 如常量函数f(x)?a(x?R)；
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3.几个重要的推论 （1）《名师一号》P19 问题探究 问题3 若函数
f(x)恒满足f(x?a)??f(x)(a?0)， f(x)恒满足f(x?a)?1(a?0)， f(x)则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期； 若函数则
f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；
若函数
f(x)恒满足f(x?a)??1(a?0)， f(x)则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；
(补充)若函数f(x)恒满足f(x?a)?f(x?b)，
则
f(x)是周期函数，a?b是它的一个周期；
（2）(补充)注意区分：
若f(a?x)?f(a?x)（或f(x)?f(2a?x)）
则函数f(x)关于x若f(x)??f(2a?x)
则函数f(x)关于点
推广：若函数
?a对称。
?a,0?对称。
f(x)恒满足f(a?x)?f(b?x)
a?b则f(x)图象的对称轴为x?。
2
4
（3）(补充)
已知奇函数f?x?的图象关于直线x?a对称， 则f?x?是周期函数，且4a为其中的一个周期
若偶函数f?x?的图象关于直线x?a对称， 则f?x?是周期函数，且2a为其中的一个周期
二、例题分析：
（一）证明（判断）函数的奇偶性 例1. (补充)
判断下列函数的奇偶性．
2＋x
(1)f(x)＝(2－x).
2－x
?x＋2 x<－1
(2)f(x)＝?0 |x|≤1
?－x＋2 x>1
(3)f(x)＝
.
11＋ (a>0且a≠1) ax－12
解析：
2＋x(1)由≥0得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，
2－x
故f(x)为非奇非偶函数．
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函数的奇偶性与周期性知识点与题型归纳
