3.1.1数系的扩充与复数的概念 教学设计
引入：
大家都知道，数，是数学中的基本概念，也是我们生活和科学技术时刻离不开的语言和工具。前几天，老师遇到了这样一个与数有关的问题，大家看看该怎样解决呢？ 问题1：已知
，求：（1）
；（2）
。
对于第二个问，学生可能出现下面几种方案得出结论，
方案一：
方案二：
方案三：通过可是
方案四：
你是怎么处理的，结论是什么？
第二个问为什么没解出来？为什么存在着使却求不出来，你是怎么想的呢？
的数，但是
正如同学们所分析的，数的概念需要进一步发展，实数集需要扩充。这就是本节课要研究的内容——§3.3.1数系的扩充与复数的概念。
应该如何进行数的扩充呢？到目前为止，大家已经知道，数系经历了三次扩充，就让我们通过回忆，从中寻找数系扩充的方法。
请大家以四人为一组合作探讨下面的问题。
问题2：数在不断的发展，到目前为止，经历了三次扩充，
（1）回顾数从自然数发展到实数的三次扩充历程。 （2）说明数集N,Z,Q,R的关系
（2）分析每一次引入新数，扩大数系的原因。
同学们说的非常好，数的这种发展一方面是生产生活的需要，另一方面也是数学本身发展的需要。
数与数之间的联系正是通过一些运算建立起来的，如果没有运算，数不过是一些孤立的符号，毫无意义， 接下来让我们从运算的角度，进一步讨论数的扩充。
问题3： 对于加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算来说，在以下四个数集中，
(1)任意两个数运算所得的结果是否仍然属于这个数集。 (2)试着分析，引入负数，分数，无理数对于运算的影响。
运算 数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 加法 减法 乘法 除法 乘方 开方 是 是 是 是 否 是 是 是 是 是 是 是 否 否 是 是 是 是 是 是 否 否 否 否 通过这个表格，我们看到，新的数集中，原有的运算律仍然适用， 同时引入新数后，使得原来的某种不可以实施的运算变得可行了。
通过不断的引入新数，数系逐步扩大到了实数系。
问题4：现在我们要进行数系的再一次扩充就是要解决什么问题？ 怎么解决？你能具体说一说吗？
同学们分析的很好，到目前为止，负数开偶次方的问题还没有解决，我们不妨先来研究负数开平方的问题，从运算的角度来说，也就是要解决方程
在
实数系中无解的问题。像大家说的，我们可以仿照前面的做法，引入一种新数，法国数学家笛卡尔给这些数起名叫虚数，即 “虚的数”与“实数”相对应．这是因为最开始研究这种新数是在16世纪，而那个时候人们没能发现什么事物可以支持这样的数。
如果引入虚数，负数可以开方了，那么
就有意义了。我们希望，引入
虚数后，原来在实数集中给出的运算规则仍能适用。例如，在引入虚数后，我们希望能把
表示成
的形式。
的乘积的形式，因
实际上任何一个负数的平方根都可以表示成一个实数与此，意大利数学家邦贝利提出可以把
看作虚数单位。
负数、分数和无理数引入时，都相应的带来了一种新的记号，那么对于虚数，用一种什么样的记号来表示呢？
现在我们规定：（1）使用来表示
；（2）。
这个数，是伟大的数学家欧拉在1777年，双目失明以后
凭借着超乎寻常的意志和毅力，仍然不放弃对科学问题的思索与追求的结果，从而让虚数有了一个特征性的记号。从此，也就不在使用而是了。那么
问题5：不仅仅
表示虚数单位了，
，这种表示方法既简洁又有特点。
是虚数吧，你还能说出其他形式的虚数吗？那么
通过运算，虚数可以用表示成什么形式呢？（讨论）
一．复数的定义
虚数与实数构成了一个新的数集，我们把这个新的数集叫做复数集，记作这样我们就完成了数系的又一次扩充。我们把新的数系称作复数系。
该怎样用描述法表示集合形如
叫做复数的虚部。
一个复数是由两部分组成的，如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等，反之亦然，即
问题6：实数与虚数组成了复数，那么示实数，什么时候表示虚数呢？
这种形式，什么时候表
呢？
。
的数，我们把它们叫做复数，其中叫做复数的实部，
二．例题
例题1.判断下列各数哪些是实数、虚数、纯虚数，并指出它们各自的实部和虚部。
例题2．当
取何实数时，复数
是：
（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4）零
结论：
三．虚数引入的必要性
通过前面的研究，大家对虚数已经有了初步的认识，然而历史上引入虚数，可不是件容易的事，是许多数学家200多年的努力，才奠定了虚数在数学领域的地位。开始很多人都不承认虚数，就连科学家牛顿也不认为虚数有多少意义，他认为虚数的引入只是为了使不可解的问题，显得像是可以解的样子。
事实并非如此，我们最开始研究的问题1，就是16世纪，意大利数学家卡尔达诺研究的一个著名问题：“将10分成两部分，使他们的乘积等于40” 的变形。这个问题就说明了虚数的存在性。
数十年后另一个意大利数学家邦贝力（R. Bombelli，1526-1573）发现，方程
有三个实数根4，
。邦贝力在利用三次方程求根公式求解
来表示的。
时，却发现实数4竟然是用
这个问题进一步说明了虚数不是虚无飘渺的，而是客观存在的。 四．复数的实际应用
在十六世纪，很多数学家不认可虚数，只不过因为那时人们对数的认识还不是很深刻，负数和无理数才刚刚接受，让他们接受负数可以开方就更难了。而且那时也无法在现实世界中找到任何可以支持虚数的事物。
不过经过许多数学家的深入研究与探索，现在复数理论越来越完善，它的重要性也越来越明显。在处理很多数学问题，如代数、分析、几何与数论等问题中，皆可看到复数的踪迹。
一些碎形就是基于复数理论基础上的。
这个图就是碎形——曼德勃罗集合，这是他的局部放大图。
复数更多的应用是作为一种数学工具，服务于各个领域。比如复数为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，为建立巨大水电站（如三峡水电站）提供了重要的理论依据。
复数还广泛的应用于物理学的各个分支， 比如在交流电，工程力学中的计算，计算量子力学中的震荡波产生的影响，等等。
五．师生小结
那么，通过这堂课的学习你有哪些收获？
今天我们的学习仅仅是打开了研究复数的大门，对复数的认识还是肤浅的，在今后的学习中，大家再慢慢体会复数的作用。
板书：
§3.1.1数系的扩充与复数的概念 一． 虚数 1． 虚数单位 2． 虚数的表示形式 二． 复数 1． 概念：形如
部。 2． 性质：
的数，叫做复数的实部，叫做复数的虚
数系的扩充与复数的概念
