嘉应学院 物理 系 《数学物理方法》B 课程考试题
一、简答题（共70分）
1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（6分）
解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。
无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。
2、奇点分为几类如何判别 （6分）
在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。
判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点 ； B，把函数在 的环域作洛朗展开
1）如果展开式中没有负幂项，则 为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则 为本性奇点；
3）如果展开式中只有有限项负幂项，则 为极点，如果负幂项的最高项为 ，则 为m阶奇点。
3、何谓定解问题的适定性（6分）
1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。
4、什么是解析函数其特征有哪些（6分）
在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数.
1）在区域内处处可导且有任意阶导数.
2）??u?x,y??C1 这两曲线族在区域上正交。
???vx,y?C23）u?x,y?和v?x,y?都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数)
4）在边界上达最大值。
4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（6分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。
5、写出?(x)挑选性的表达式（6分）
???f?x???x?x0?dx?f?x0??????? ????f?x???x?dx?f?0?????????f(r)?(r?R0)dv?f(R0)??
6、写出复数
1?i3的三角形式和指数形式（8分） 2??cos??isin???13?i22
三角形式：?2?sin2??cos2?1?i3???cos?isin233
指数形式：由三角形式得：
7、求函数解：
???3i?3??1
z?ez在奇点的留数（8分） 2(z?1)(z?2)奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2
??zResf(1)?lim?(z?1)?1 2?z?1(z?1)(z?2)??Resf\\(2)?lim
1dz?21!dz????1?z2(z?2)?lim??1 ??2?2?z?2(z?1)(z?2)???(z?1)?coszdz（8分） 8、求回路积分 ?z?13z
解：f(z)有三阶奇点z=0（在积分路径内）
Resf\\(0)1d2?limz?02!dz21?3cosz???z?limcosz?- 3??z?02z??1?原积分=2?iResf(0)?2?i(?)???i
2
9、计算实变函数定积分
????x2?1dx（8分） 4x?1z2?1z2?1?解：f(z)?4 z?1????????2222z?(1?i)z?(1?i)z?(1?i)z?(1?i)????????2222????????它具有4个单极点：只有z=?22(1?i)和z=(1?i)在上半平面，其留数分别为： 22Resf\\(?2(1?i))2????2z?11???lim??z?0???????22i222??z?(1?i)??z?(1?i)??z?(1?i)???222?????????????2z?11??Resf2?lim?? ?\\(2(1?i))z?0?????z?2(1?i)??2???z?2(1?i)???????z?2(1?i)?2?2??????I?2?i(122i?122i)?2?
?10、求幂级数?1(z?i)k 的收敛半径（8分） k?1k1R?limakk?1k??a?limkk?1k??1?limk??k?1 k?1所以收敛圆为z?i?1
二、计算题（共30分）
1、试用分离变数法求解定解问题（14分）
???utt?a2uxx?00?x?l,t?0 ?u?u?xx?0xx?l?0 ??ut?0?x?1/2,utt?0?0
令u(x,t)?X(x)T(t)，并代入方程得
??XT''?a2X''T?0?X'(0)T(t)?0''''?移项 TX??? ?X'(l)T(t)?0a2T?X22i?X??X''?0?'?X(0)?0和T''?a2?T?0 ?X'(l)?0?在?＜0时，方程的解为：X(x)?C1ex???C2e?x??在??0时，方程的解为：X(x)?C1x?C2在?＞0时，方程的解为：X(x)?C1cos?x?C2sin?x由边界条件X'(0)?0，X'(l)?0得：
?＜0时，X(x)?0??0时，Xx(?C?＞0时，X'(x)?C1?cos?x?C2?sin?xX'(0)?C2??0??0，C2?0
X'(l)??C1?cos?l?C2?sin?l?0C1?（否则方程无解），0sin?l?0n2?2??l?n????2lX(x)?C1cosn?xln2?2把??0和??2代人T的方程T''?a2?T?0得：l ?T0(t)?A0?B0t?2,3?)?n?atn?at(n?1，Tn(t)?Ancos?Bnsin?ll??U(x,t)?A0?B0t??(Ancosn?1?n?atn?atn??Bnsin)cosx lll?n?1?A??Acosx?x???0n?1nl2由初始条件得?
?n?an??B??Bcosx?00n?n?1ll?把右边的函数展成傅里叶余弦级数, 比较两边的系数得
11A0??(x?)dxl02ll1B0??0dxl0Bn?2n?0?cosxdx?n?a0lllAn?21n?(x?)?cosxdx?l02l
l?1得：A0?2?4l(n?2k?1)?? An?22(cosn??1)?An??n2?2n??(n?2k)?02l
【】数学物理方法试卷(全答案)
