三角函数典型考题归类
1．根据解析式研究函数性质
例1（天津理）已知函数f(x)?2cosx(sinx?cosx)?1，x?R．
（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求函数f(x)在区间?，?上的最小值和最大值．
84【相关高考1】（湖南文）已知函数f(x)?1?2sin2?x??π3π?????π?π?π????2sinx?cosx??????． 8?8?8???求：（I）函数f(x)的最小正周期；（II）函数f(x)的单调增区间． 【相关高考2】（湖南理）已知函数f(x)?cos2?x???π?1，g(x)?1?sin2x． ?12?2（I）设x?x0是函数y?f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值．（II）求函数h(x)?f(x)?g(x)的单调递增区间．
2．根据函数性质确定函数解析式
例2（江西）如图，函数y?2cos(?x??)(x?R，?>0，≤0?≤)的图象与y轴相交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为?． （1）求?和?的值；
π2y3 ?π?0?，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，（2）已知点A?，2??当y0?P x O A 3?π?，x0??，π?时，求x0的值． 2?2???π?π??2?x?sin?x??2cos，x?R（其中??0），（I）???6?6?2?【相关高考1】（辽宁）已知函数f(x)?sin??x?求函数f(x)的值域； （II）（文）若函数y?f(x)的图象与直线y??1的两个相邻交点间的距离为
π，求函数2y?f(x)的单调增区间．
（理）若对任意的a?R，函数y?f(x)，x?(a，a?π]的图象与直线y??1有且仅有两个不同的交点，试确定?的值（不必证明），并求函数y?f(x)，x?R的单调增区间． 【相关高考2】（全国Ⅱ）在△ABC中，已知内角A??，边BC?23．设内角B?x，周长为y． ?（1）求函数y?f(x)的解析式和定义域；（2）求函数y?f(x)的最大值． 3．三角函数求值
例3（四川）已知cosα=
1π13,cos(α-β)＝，且0<β<α<,(Ⅰ)求tan2α的值；（Ⅱ）求β. 7214【相关高考1】（重庆文）已知函数f(x)=
???2cos?2x??4??sin(x??2.（Ⅰ）求f(x)的定义域；（Ⅱ）若角a在第一象限，且
)3 cosa?,求f（a）。5【相关高考2】(重庆理)设f (x) = 6cosx?3sin2x（1）求f(x)的最大值及最小正周期；（2）若锐角?满足
24f(?)?3?23，求tan?的值.
54．三角形中的函数求值
例4（全国Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a?2bsinA．
（Ⅰ）求B的大小；（文）（Ⅱ）若a?33，c?5，求b．（理）（Ⅱ）求cosA?sinC的取值范围． 【相关高考1】（天津文）在△ABC中，已知AC?2，BC?3，cosA??（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求sin?2B?4． 5?????的值． 6?【相关高考2】（福建）在△ABC中，tanA?13，tanB?．（Ⅰ）求角C的大小；文（Ⅱ）若AB边的长为17，45求BC边的长．理（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为17，求最小边的边长． 5．三角与平面向量
ruuuruuu例5（湖北理）已知△ABC的面积为3，且满足0≤AB?AC≤6，设AB和AC的夹角为?．（I）求?的取值范
围；
（II）求函数f(?)?2sin?2?π?????3cos2?的最大值与最小值． ?4?【相关高考1】（陕西）设函数f?x??a?b，
???其中向量a?(m,cos2x),b?(1?sin2x,1),x?R，且函数y=f(x)的图象经过点?,2?，
?4?（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.
【相关高考2】（广东）已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)．
（文）(1)若AB?AC?0，求c的值；（理）若∠A为钝角，求c的取值范围；(2)若c?5，求sin∠A的值．
6三角函数中的实际应用
例6（山东理）如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行
o到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？
o【相关高考】（宁夏）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D．现测得?BCD??，?BDC??，CD?s，并在点C测得塔顶A的仰角为?，求塔高AB．
北 120oA2B2105oBA11
乙
甲
7．三角函数与不等式
例7（湖北文）已知函数f(x)?2sin2??π?4?x????3cos2x，x???π?4，π?2??．（I）求f(x)的最大值和最小值； （II）若不等式f(x)?m?2在x???ππ??4，2??上恒成立，求实数m的取值范围． 8．三角函数与极值
例8（安徽文）设函数f?x???cos2x?4tsinx2cosx2?4t3?t2?3t?4,x?R 其中t≤1，将f?x?的最小值记为g(t).
(Ⅰ)求g(t)的表达式；(Ⅱ)讨论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.
三角函数易错题解析
例题1 已知角?的终边上一点的坐标为（sin2?2?3,cos3），则角?的最小值为（ ）。 A、5?2?5?11?6 B、3 C、3 D、6
例题2 A，B，C是?ABC的三个内角，且tanA,tanB是方程3x2?5x?1?0的两个实数根，则?ABC是（ A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形
例题3 已知方程x2?4ax?3a?1?0（a为大于1的常数）的两根为tan?，tan?，
且?、????????????2,2??，则tan2的值是_________________. 例题4 函数f(x)?asinx?b的最大值为3，最小值为2，则a?______，b?_______。 例题5 函数f(x)=
sinxcosx1?sinx?cosx的值域为______________。
例题6 若2sin2α?sin2??3sin?,则sin2??sin2?的取值范围是 例题7 已知??????，求y?cos??6sin?的最小值及最大值。 例题8 求函数f(x)?2tanx1?tan2x的最小正周期。
）例题9 求函数f(x)?sin2x?22cos(?x)?3的值域
?4例题10 已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,0≤?≤?)是R上的偶函数，其图像关于点M(?,0)对称，且在区间[0，
34?]上是单调函数，求?和?的值。 22011三角函数集及三角形高考题
1.（2011年北京高考9）在VABC中，若
b?5,?B??4,sinA?13，则a? .
22.（2011年浙江高考5）.在?ABC中，角A,B,C所对的边分a,b,c.若acosA?bsinB，则sinAcosA?cosB?
11(A)- 2 (B) 2 (C) -1 (D) 1
?3.（2011年全国卷1高考7）设函数f(x)?cos?x(??0)，将y?f(x)的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则?的最小值等于
1（A）3 （B）3 （C）6 （D）9
5.（2011年江西高考14）已知角?的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若
p?4,y?是角?终边上一点，且
sin???255，则y=_______.
f(x)?f()f(x)?sin(2x??)?6对x?R恒成立，且6．（2011年安徽高考9）已知函数，其中为实数，若
f()?f(?)2，则f(x)的单调递增区间是
?????????k??,k??(k?Z)k?,k??(k?Z)????362??（A）? （B）? ??2?????k??,k?(k?Z)k??,k??(k?Z)????263??（C）? （D）?
2227．（2011四川高考8）在△ABC中，sinA?sinB?sinC?sinBsinC，则A的取值范围是
(0,]（A）6
?
[,?)（B）6
?
(0,]
3 （C）
?
[,?)（D）3
?f(x)?4cosxsin(x?)?1.61.（2011年北京高考17）已知函数
??????,??（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求f(x)在区间?64?上的最大值和最小值。
cosA?2cosC2c?a?A,B,Ca,b,c?ABCcosBb， 3. （2011年山东高考17） 在中，内角的对边分别为，已知sinC1cosB?,b?24（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若，求?ABC的面积S。
5.（2011年全国卷高考18）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知asinA?csinC?2asinC?bsinB.
0A?75,b?2,求a，c. (Ⅰ)求B；（Ⅱ）若
6.（2011年湖南高考17）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足csinA?acosC.
3sinA?cos(B?)4的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小． （I）求角C的大小；（II）求1?f(x)?2sin(x?)36，x?R． 7．（2011年广东高考16）已知函数
???5??106?,??0,f()f(3??)?f(3??2?)???2??，4的值；（2）设213，5，求cos(???)的值． （1）求
8．（2011年广东高考18）已知函数
?f(x)?sin(x?7?3?)?cos(x?)44，x?R．
cos(???)?44?cos(???)??0?????5，5，2．求证：
（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知[f(?)]2?2?0．
9.（2011年江苏高考17）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c
sin(A?（1）若
?6)?2cosA,1cosA?,b?3c3 求A的值；（2）若，求sinC的值.
b10.（2011高考）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a。（I）求a；（II）
若c2=b2+3a2，求B。
1a?1,b?2,cosC?4 11. （2011年湖北高考17）设?ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知s(A?C)的值。 (I) 求?ABC的周长；(II)求cocos2C??12. （2011年浙江高考18）在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知
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