专题二 三角函数与平面向量 第3讲 平面向量练习 理
一、选择题
1.(2014·新课标全国Ⅱ卷)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( ) A.1 C.3
解析 由|a＋b|＝10得|a＋b|＝10， 即a＋2a·b＋b＝10，①
又|a－b|＝6，所以a－2a·b＋b＝6，② 由①－②得4a·b＝4，则a·b＝1. 答案 A
2.已知点A(－1，1)、B(1，2)、C(－2，－1)、D(3，4)，则向量AB在CD方向上的投影为( ) A.
2
2
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B.2 D.5
→→32 232 2B.315 2315 2C.－D.－→→AB·CD15→→→→→解析 AB＝(2，1)，CD＝(5，5)，|CD|＝52，故AB在CD方向上的投影为＝＝
→52|CD|32. 2答案 A
3.已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
?2π?p1：|a＋b|＞1?θ∈?0，?
3???2π，π? ??3??π?p3：|a－b|＞1?θ∈?0，? ?3??π?p4：|a－b|＞1?θ∈?，π? ?3?p2：|a＋b|＞1?θ∈?其中的真命题是( ) A.p1，p4 C.p2，p3
B.p1，p3 D.p2，p4
2
2
2
解析 |a|＝|b|＝1，且θ∈[0，π]，若|a＋b|＞1，则(a＋b)＞1，∴a＋2a·b＋b＞
1，即a·b＞－，∴cos θ＝∴θ∈?0，12a·b1＝a·b＞－，
|a|·|b|2??2π?； 3??12若|a－b|＞1，同理求得a·b＜，
1?π?∴cos θ＝a·b＜，∴θ∈?，π?，故p1，p4正确，应选A.
2?3?答案 A
4.已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－A.C.
解析 因为a，b均为单位向量，所以(2a＋b)·(a－2b)＝2－2－3a·b＝－＝π
33，则向量a，b的夹角为( ) 26 B.D.
π
4
3π 45π 633，解得a·b23a·b3π，所以cos〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝. 2|a||b|26答案 A
5.若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量b与a＋b的夹角为( ) A.C.π
6π
B.D.
5π
62π 33解析 法一 由已知，得|a＋b|＝|a－b|，将等式两边分别平方， 整理可得a·b＝0.①
由已知，得|a＋b|＝2|a|，将等式两边分别平方， 可得a＋b＋2a·b＝4a.② 将①代入②，得b＝3a， 即|b|＝3|a|.
而b·(a＋b)＝a·b＋b＝b， 故cos〈b，a＋b〉＝
2
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2
2
b·（a＋b）b2＝ |b|·|a＋b|3|a|·2|a|＝
3a23＝.
3|a|·2|a|2
高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量练习理
