成都工贸职业技术学院教案
课程名称 授课教师 授课 题目 教学 目标 知识目标： 1.理解极值的概念及函数极值的判定定理； 2. 能够区别极值与最值的概念。 能力目标： 1.掌握利用导数求极值的方法； 2.掌握求函数的最大值和最小值的方法，会求实掌握求函数的最大值和最小值的方法，会求实际问题中的最值。 素质目标： 1.帮助学生树立正确的学习观、人生观、价值观； 2.培养学生的良好的逻辑思维能力和知识迁移能力； 3.加强工科学生的基础学习能力，弘扬工匠精神。 教学 重点 教学 难点 教学 方法 教学 准备 函数的单调性判定方法及其应用 函数的极值判定定理和极值的求法及其应用 讲授、交流讨论 教案、多媒体、黑板、三角板、粉笔 函数的极值判定定理和极值的求法及其应用 高等数学 陈本锋 年级 授课时间 2017级 专业 学时 材料成型 2 3-3 函数的极值与最值 教学过程设计 教学内容 一、导入新课（5分钟） 单调性和极值、最值是怎么求的？ 练习题： 求函数f(x)=x?6x?9x的极值。 解法1：因为 f(x)=x?6x?9x 的定义域为(??,??), 3232教师活动 教师结合教材讲解 学生活动 学生认真听讲 f'(x)?3x2?12x?9?3(x?1)(x?3) 令f'(x)?0，得驻点为x1?1,x2?3. 在(??,1)内，f'(x)?0在(1,3)内， f'(x)?0故f(1)=4为函数f(x)的极大值。 二、讲授新课（1）（25分钟） 1.极值的定义 定义 设函数f(x)在x0的某个邻域内有定义，且对此邻域内任意一点 x(x?x0)，均有f(x)?f(x0)，则称f(x0)是函数f?x?的一个极大值； 同样，如果对此邻域内的任一点x（x?x0），均有f(x)?f(x0)，则 称f(x0)是函数f?x?的一个极小值。函数f?x?的极大值与极小值统称 为极值，使函数取得极值的点x0，称为极值点. 注：1）极值在一个区间上可能不唯一，极大值也有可能小于极小值； 2）极值的概念是局部性的，它与最值不同； 3）可导函数在极值处的切线是水平的，即极值点处导数为0，所以 f'(x)?0； 定理1（极值的必要条件） 设函数在点处具有导数，且在点处取得极值， 则f'(x)?0 注：1）极值点必为驻点，反之不真。 2）极值点可能是导数不存在的点，称之为尖点。 2.函数极值的判别法 定理2（第一充分条件） 设函数f(x)在点x0处连续，在点的某一个 空心邻域内可导，当x由小到大经过点x0时，如果 1）f'(x)由正变负，那么x0是函数f(x)极大值点； 2）f'(x)由负变正，那么x0是函数f(x)极小值点； 3）f'(x)不变号，那么x0不是极值点。 证 1）由假设知，f(x)在x0的左侧邻近单调递增，在x0的右侧单调递减，即当x
f(x0)是f(x)的极大值。类似可证2）。 3）由于不变号，所以f(x)是单调的，因此不是极值点。 定理3（第二充分条件）设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f'(x)?0,f''(x)?0 1）如果f''(x)?0，则f(x)在点x0处取得极大值； 2）如果f''(x)?0，则f(x)在点x0处取得极小值。 确定极值点和极值的步骤? (1)求出导数f ?(x)? (2)求出f(x)的全部驻点和不可导点? (3)列表判断(考察f ?(x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况? 以便确定该点是否是极值点? 如果是极值点? 还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值)? (4)确定出函数的所有极值点和极值? 例1求函数f(x)?(x?4)3(x?1)2的极值? 解(1)f(x)在(??? ??)内连续? 除x??1外处处可导? 且 5(x?1)? 33x?1 (2)令f ?(x)?0? 得驻点x?1? x??1为f(x)的不可导点? (3)列表判断 f?(x)?x f ?(x) f(x) (??? ?1) ? ↗ ?1 不可导 0 (?1? 1) ? ↘ 1 0 ?334 (1? ??) ? ↗ (4)极大值为f(?1)?0? 极小值为f(1)??334? 例2 求函数f(x)?(x2?1)3?1的极值? 解 (1)f ?(x)?6x(x2?1)2? (2)令f ?(x)?0? 求得驻点x1??1? x2?0? x3?1? (3)f ??(x)?6(x2?1)(5x2?1)? (4)因f ??(0)?6?0? 所以f (x)在x?0处取得极小值? 极小值为f(0)?0? (5)因f ??(?1)?f ??(1)?0? 用定理3无法判别? 因为在?1的左右邻域内f ?(x)?0? 所以f(x)在?1处没有极值? 同理? f(x)在1处也没有极值? 三、课堂练习（1）（10分钟） 同理知f(3)=0为f(x)极小值。 解法2：因为f(x)的定义域为(??,??)，且f'(x)?3x2?12x?9,f''(x)?6x?12, 令f'(x)?0，得驻点为x1?1,x2?3 又因为f''(1)??6?0，所以f(1)=4为极大值 f''(3)?6?0所以，f(3)=0为极小值。 教务处编制
四、讲授新课（2）（20分钟） 3.最大值最小值问题 在工农业生产、工程技术及科学实验中? 常常会遇到这样一类问题? 在一定条件下? 怎样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题? 这类问题在数学上有时可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题? 极值与最值的关系? 设函数f(x)在闭区间[a? b]上连续? 则函数的最大值和最小值一定存在? 函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得? 如果最大值不在区间的端点取得? 则必在开区间(a? b)内取得? 在这种情况下? 最大值一定是函数的极大值? 因此? 函数在闭区间[a? b]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者? 同理? 函数在闭区间[a? b]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者? 最大值和最小值的求法? 设f(x)在(a? b)内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为x1? x2? ? ? ? ? xn? 则比较 f(a)? f(x 1)? ? ? ? ? f(x n)? f(b) 的大小? 其中最大的便是函数f(x)在[a? b]上的最大值? 最小的便是函数 f(x)在[a? b]上的最小值? 例3求函数f(x)?|x2?3x?2|在[?3? 4]上的最大值与最小值? 教师讲解导数x2?3x?2 x?[?3, 1]?[2, 4]? 解 f(x)??2? ??x?3x?2 x?(1, 2)的求法 2x?3 x?(?3, 1)?(2, 4) f?(x)?? ??2x?3 x?(1, 2)? 3在(?3? 4)内? f(x)的驻点为x?? 不可导点为x?1和x?2? 2 31 由于f(?3)?20? f(1)?0?f()?? f(2)?0? f(4)?6? 比较可得f(x)在x??324 处取得它在[?3? 4]上的最大值20? 在x?1和x?2处取它在[?3? 4]上的最小 值0? 例4 工厂铁路线上AB段的距离为100km? 工厂C距A处为20km? AC垂直于AB? 为了运输需要? 要在AB线上选定一点D向工厂修筑一 条公路? 已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比 3:5? 为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省? 问D点应选在何 处？ 100kmAB D 20km C 解 设AD?x (km)? 则 DB?100?x ? CD?202?x2?400?x2? 学生认真听讲和思考 教务处编制
设从B点到C点需要的总运费为y? 那么 y?5k?CD?3k?DB (k是某个正数)? 教师讲授 即 y?5k400?x2?3k(100?x) (0?x?100)? 现在? 问题就归结为? x 在[0? 100]内取何值时目标函数y的值最小? 先求y对x的导数? 5x?3)? CD?400?x2 y??k(400?x2 解方程y??0? 得x?15(km)? 1 由于y|x?0?400k? y|x?15?380k?y|x?100?500k1?2? 其中以y|x?15?380k 5 为最小? 因此当AD?x?15km时? 总运费为最省? 五、课堂练习（2）（10分钟） 练习1： 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km,A点到火车站B的 距离为100km. 欲修一条从工厂到铁路的公路CD. 已知铁路与公路每公 里运费之比为3:5. 为了使火车站B与工厂C间的运费最省, 问D点应选 在何处？ 教师提 解 设AD?x (km)? B与C间的运费为y???则 示指导 y?5k?CD?3k?DB ?5k400?x2?3k(100?x)(0?x?100)? 其中k是某一正数? 5x?3)?0? 得x?15? 由y??k(400?x2 1 由于y|x?0?400k? y|x?15?380k?y|x?100?500k1?2? 其中以y|x?15?380k5 为最小? 因此当AD?x?15km时? 总运费为最省? 六、课堂小结（5分钟） 教师语1.理解极值的概念及函数极值的判定定理，掌握利用导数求极值的方法. 言总结 2.掌握求函数的最大值和最小值的方法，会求实际问题中的最值，不要将极大（极小）值与最大（最小）值混为一谈，要懂得它们的区别和联系。 学生认真听讲 学生思考练习 学生回顾
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1.理解极值的概念及函数极值的判定定理，掌握利用导数求极值的方法. 2.掌握求函数的最大值和最小值的方法，会求实际问题中的最小结 值，不要将极大（极小）值与最大（最小）值混为一谈，要懂得它们的区别和联系。 习题3.4 A组：1、3题；B组：2题。 作业 教学反馈 教研室 审阅意见
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3-3 函数的极值与最值 - 图文
