第4章 随机变量得数字特征
一、选择题
1.设两个相互独立得随机变量X与Y得方差分别为4与2,则随机变量3X-2Y得方差就是 (A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44
2.若随机变量与得协方差,则以下结论正确得就是( )
(A) 与相互独立 (B) D(X+Y)=DX+DY(C) D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY 3.设随机变量与相互独立,且,则( ) (A) (B) (C) (D)
4.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量ξ=X+Y与η=X-Y不相关得充要条件为
(A) EX=EY (B) E(X2)- (EX)2= E(Y2)- (EY)2
(C) E(X2)= E(Y2)
(D) E(X2)+(EX)2= E(Y2)+ (EY)2
5.设、就是两个相互独立得随机变量且都服从于,则得数学 期望( ) (A) (B) 0 (C) (D) 6.设、就是相互独立且在上服从于均匀分布得随机变量,则( ) (A) (B) (C) (D)
7.设随机变量与得方差存在且不等于0,则D(X+Y)=DX+DY就是X与Y( )
(A) 不相关得充分条件,但不就是必要条件 (B) 独立得充分条件,但不就是必要条件 (C) 不相关得充分必要条件 (D) 独立得充分必要条件 8.若离散型随机变量得分布列为,则( )
(A) 2 (B) 0 (C) ln2 (D) 不存在
9.将一枚硬币重复掷n次,以X与Y分别表示正面向上与反面向上得次数,则X与Y得相关系数等于
(A)－1 (B)0 (C) (D)1
10.设随机变量X与Y独立同分布,具有方差>0,则随机变量U=X+Y与V=X-Y (A)独立 (B) 不独立 (C) 相关 (D) 不相关
11.随机变量X得方差存在,且E(X)=?,则对于任意常数C,必有 。 (A)E(X-C)=E(X)-C (B)E(X-C)=E(X-?) (C)E(X-C)< E(X-?) (D)E(X-C)? E(X-?)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
12.设X~U(a,b), E(X)=3, D(X)=, 则P(1 1.设表示10次独立重复射击命中目标得次数,每次命中目标得概率为0、4,则 2.设一次试验成功得概率为,进行了100次独立重复试验,当时,成功得次数得标准差得值最大,其最大值为 3.设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量,则得方差DY= 4.,,,则, 5.设随机变量服从于参数为得泊松分布,且已知,则 6.设(X,Y)得概率分布为: Y X 0 1 则＝ 。 7.已知, 则E(X)= 。 8.X~N(? ,?2),Y~N(?,?2),X与Y相互独立, 则Cov(X+Y, X-Y) =________。 9.随机变量X1,X2,X3相互独立,且都服从均匀分布U(0,2), 令X=3X1-X2+2X3 ,则 E(X)=___________,D(X)＝ 。 10.设ρXY=0、9,Z=X-0、4,则Y与Z得相关系数为 。 11.设随机变量Xij 独立同分布,EXij=2,则行列式 得数学期望EY= 。 三、简答题 1.从学校乘汽车到火车站得途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯得事件就是相互独立得,并且概率都就是2/5。设X为同种遇到红灯得次数,求随机变量X得分布律、分布函数与数学期望。 2.已知随机变量服从二维正态分布,且与分别服从正态分布与,它们得相关系数,令,⑴求得数学期望与方差 (2) 求与得相关系数。 0、07 0、18 0、08 0、32 0、15 0、2 -1 0 1 3.已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品与3件次品,乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求 (1)乙箱中次品数X得数学期望;(2)从乙箱中任取一件产品就是次品得概率。 4.游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光;电梯于每个整点得第5分钟、25分钟与55分钟从底层起行。假设一游客在早八点得第X分钟到达底层候梯处,且X在[0,60]上均匀分布,求该游客等候时间Y得数学期望。 5.一商店经销某种商品,每周进货得数量X与顾客对某种商品得需求量Y就是相互独立得随机变量,且都服从区间[10,20]上得均匀分布。商店没售出一单位商品可得利润1000元;若需求量超过了供货量,商店可从其她商店调剂供应,这时每单位商品获利润为500元,试计算此商店经销该种商品每周所得利润得期望值。 6.两台同样自动记录仪,每台无故障工作得时间服从参数为5得指数分布;首先开动其中一台,当其发生故障时停用而另一台自行开动。试求两台记录仪无故障工作得总时间T得概率密度f(t)、数学期望与方差。 7.某流水生产线上每个产品不合格得概率为p(0 8.设随机变量X得概率密度为 对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于得次数,求得数学期望。 9.设随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0,方差为1/2得正态分布,求随机变量|X-Y|得方差。 10.假设二维随机变量(X, Y)在矩形G={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}上服从均匀分布。记 。 (1)求(U, V)得概率分布;(2)求U与V得相关系数r。 11、假设随机变量U在区间[-2,2]上服从均匀分布,随机变量 试求(1)X与Y得联合概率分布;(2)D(X+Y)。 12.设A,B就是两个随机事件;随机变量 试证明随机变量X与Y不相关得充要条件就是A与B相互独立。 参 考 答 案 一、选择题 1.D 2.B 3.C 4.B 5.C 6.C 7.C 8.D 9.A 10.D 11.D 12.D 二、填空题 1.18、4 2.1/2,5 3.8/9 4.7,19 5.1 6.-0、02 7.18/11 8.0 9.4,14/3 10.0、9 11.0 三、简答题 1.解:X服从二项分布,其分布律为 X P 其分布函数为 X得数学期望为 2.解:⑴因,,故有, 0 1 2 3 27/125 54/125 36/125 8/125 XY111132142?2??(?6)??3 ,DZ?D(?)?DX?2??cov(X,Y)?DY?329324964XY11321??(?6)?0,?XZ?0 (2)cov?X,Z??cov(X,?)?DX?cov(X,Y)?3232323.解:(1)由题意知,X服从超几何分布,故; (2)又全概率公式,可得。 4.解:有题意, 因此 ?25556015(?(5?x)dx??(25?x)dx??(55?x)dx??(65?x)dx)?11.67。 525556005.解:设Z表示商店每周所得得利润,则 1000Y,Y?X,? Z?g(X,Y)???1000X?500(Y?X)?500(X?Y),Y?X,所以 20y111000y?dxdy???500(x?y)?dxdy?14166.67。 1010100100??2010?20y6.解:以X与Y表示先后开动得记录仪无故障工作得时间,则T=X+Y,从而有 f(t)??由已知,, ???t??25?e?5xe?5(t?x)dx?25te?5t,t?0,fX(x)fY(t?x)dx??0 ?0,t?0,?从而有:。 7.解:X服从几何分布,P(X=i)=qi-1p,i=1,2,… ; EX??iq22i?1?i?1p?p(?i(i?1)qi?1?i?1??iqi?1?i?1)?pq(?qi)???i?2?12?2p12?p; ???22pppp、 8.解:设A表示X得观察值大于,故;由题意可知,Y~B(4,1/2);故。 9.解:有独立正态分布得性质,X-Y~N(0,1),先求 ; 再求;所以。 10.解:(1);; ;; (2),,,可计算, ,,最后得到 。 11、解:(1);; ;; (2),,, 所以 E(X+Y)=0,D(X+Y)=2。 12.证明:EX=P(A)-[1-P(A)]=2P(A)-1,EY=2P(B)-1, E(XY)?P(AB)?P(AB)?P(AB)?P(AB)?P(AB)?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)?1?P(A)?P(B)?P(AB) ?4P(AB)?2P(A)?2P(B)?1从而X与Y不相关得充要条件就是,即 4P(AB)?2P(A)?2P(B)?1?[2P(A)?1][2P(B)?1]?4P(A)P(B)?2P(A)?2P(B)?1, 当且仅当P(AB)=P(A)P(B),当且仅当 A,B独立。
概率论与数理统计第四章测试题
