(2)应用分式的基本性质时,要深刻理解“同”的含义,避免犯只乘分子(或分母)的错误;
(3)若分式的分子或分母是多项式,运用分式的基本性质时,要先用括号把分子或分母括上,再乘或除以同一整式C;
(4)分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。
5.分式的通分:
和分数类似,利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把几个异分母分式化成相同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时,通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母,这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点:
(1)“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的;
(2)如果各分母的系数都是整数时,通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;
(3)如果分母是多项式,一般应先分解因式。 6.分式的约分:
和分数一样,根据分式的基本性质,约去分式的分子和分母中的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式,这样的分式叫最简公因式。
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约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。
(1)约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分;分子、分母是多项式时,通常将分子、分母分解因式,然后再约分;
(2)找公因式的方法:
① 当分子、分母都是单项式时,先找分子、分母系数的最大公约数,再找相同字母的最低次幂,它们的积就是公因式;
②当分子、分母都是多项式时,先把多项式因式分解。
易错点:(1)当分子或分母是一个式子时,要看做一个整体,易出现漏乘(或漏除以);
(2)在式子变形中要注意分子与分母的符号变化,一般情况下要把分子或分母前的“—” 放在分数线前;
(3)确定几个分式的最简公分母时,要防止遗漏只在一个分母中出现的字母; 7.分式的运算:
1)分式乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。
2)分式除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
acacacadad? ? ? ? 用式子表示是:b ? d ? bd ; b dbcbc提示:(1)分式与分式相乘,若分子、分母是单项式,可先将分子、
分母分别相乘,然后约去公因式,化为最简分式;若分
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子、分母是多项式,先把分子、分母分解公因式,看能否约分,然后再相乘;
(2)当分式与整式相乘时,要把整式与分式的分子相乘作
为积的分子,分母不变
(3)分式的除法可以转化为分式的乘法运算; (4)分式的乘除混合运算统一为乘法运算。
①分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算
相同,即按照从左到右的顺序,有括号先算括号里面的;
②分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号
的处理,可先确定积的符号;
③分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式
(分式的分子、分母没有公因式)或整式的形式。
3)分式乘方法则:分式乘方要把分子、分母各自乘方。
anan用式子表示是: ( ) ? n (其中n是正整数)
bb 注意:(1)乘方时,一定要把分式加上括号;
(2)分式乘方时确定乘方结果的符号与有理数乘方相同,即正分式的任何次幂都为正;负分式的偶次幂为正,奇次幂为负; (3)分式乘方时,应把分子、分母分别看做一个整体; (4)在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时,应先算乘方,再算乘除,有多项式时应先分解因式,再约分。
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4)分式的加减法则:
法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。 aca±c
用式子表示为: ± =
bbb
法则:异分母的分式相加减,先通分,转化为同分母分式,然后
再加减。
acadbcad±bc
用式子表示为: ± = ± =
bdbdbdbd
注意:(1)“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减,即各个分子应先加上括号后再加减,分子是单项式时括号可以省略;
(2)异分母分式相加减,“先通分”是关键,最简公分母确定后再通分,计算时要注意分式中符号的处理,特别是分子相减,要注意分子的整体性;
(3)运算时顺序合理、步骤清晰; (4)运算结果必须化成最简分式或整式。 5)分式的混合运算:
分式的混合运算,关键是弄清运算顺序,与分数的加、减、
乘、除及乘方的混合运算一样,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里面的,计算结果要化为整式或最简分式。 8. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1, 即a0?1(a?0);当n为正整数时,a?n?1 (a?0) an 19
注意:当幂指数为负整数时,最后的计算结果要把幂指数化为正整数。
9. 整数指数幂:
若m、n为正整数,a≠0,am ÷am+n= =
mna.aan
1am
1
又因为am ÷am+n=a
m-﹙m+n﹚
=a-n,所以a -n=
an
1
一般地,当n是正整数时,a -n= (a≠0),即a -n(a≠0)是
anan的倒数,这样指数的取值范围就推广到全体整数。整数指数幂可具有下列运算性质:(m,n是整数)
(1)同底数的幂的乘法:am?an?am?n; (2)幂的乘方:(am)n?amn; (3)积的乘方:(ab)n?anbn;
(4)同底数的幂的除法:am?an?am?n( a≠0);
anan(5)商的乘方:()?n ;(b≠0)
bb规定:a0=1(a≠0),即任何不等于0的零次幂都等于1. 10. 分式方程:含分式,并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。
1)分式方程的解法: 去分母
转化
(1)解分式方程的基本思想方法是:分式方程 -----→ 整式方程.
(2)解分式方程的一般方法和步骤:
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(完整版)苏教版八年级数学下册知识点(详细精华版)
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