三角形的“四心”与向量的完美结合
知识概述：
三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一、知识点总结
1）O是?ABC的重心?OA?OB?OC?0; 若O是?ABC的重心，则S?BOC?S?AOC?S?AOB?1S?ABC,故;OA?OB?OC?0, 3PG?1(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心.
32）O是?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA; 若O是?ABC(非直角三角形)的垂心，
则S?BOC:S?AOC:S?AOB?tanA:tanB:tanC,故tanA?OA?tanB?OB?tanC?OC?0 3）O是?ABC的外心?OA?OB?OC(或OA?OB?OC) 若O是?ABC的外心,
则S?BOC:S?AOC:S?AOB?sin?BOC:sin?AOC:sin?AOB?sin2A:sin2B:sin2C 故sin2A?OA?sin2B?OB?sin2C?OC?0 4）O是内心?ABC的充要条件是
222OA?(ABAB?ACAC)?OB?(BABA?BCBC)?OC?(CACA?CBCB)?0
引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3，则刚才O是?ABC内心的充要条件可以写成OA?(e1?e3)?OB?(e1?e2)?OC?(e2?e3)?0
O是?ABC内心的充要条件也可以是aOA?bOB?cOC?0
若O是?ABC的内心，则S?BOC:S?AOC:S?AOB?a:b:c 故aOA?bOB?cOC?0或sinAOA?sinBOB?sinCOC?0;
|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P?ABC的内心;
向量?(AB?AC)(??0)所在直线过?ABC的内心(是?BAC的角平分线所在直线)；
|AB||AC|
知识点一、将平面向量与三角形内心结合考查
【例 1】:O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP?OA??(ABAB?ACAC)，
???0,???则P点的轨迹一定通过?ABC的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
e1e2
【解答】：因为
ABAB是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为e1和e2， 又
OP?OA?AP，则原式可化为AP??(e1?e2)，由菱形的基本性质知AP平分?BAC，那么在?ABC中，AP平分?BAC，则知选B.
练习：在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(–3, 4)，若点C在∠AOB的平分线上，且|OC|?2，则OC=_________________.
【解答】：
点C在∠AOB的平线上，则存在??(0,??)使OC??(1010310,). ，∴OC?(?3553439OAOB?)=?(0,1)??(?,)=(??,?),
5555|OA||OB|而|OC|?2，可得??
【例2】：三个不共线的向量OA,OB,OC满足OA?(BCCAABCABA+CB) =OC?(?)?)=OB?(|BC||CA||AB||CA||BA||CB|= 0，则O点是△ABC的( )
A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心
解：
ABCAABCA??)= 0知OA垂直表示与△ABC中∠A的外角平分线共线的向量，由OA?(|AB||CA||AB||CA|∠A的外角平分线，因而OA是∠A的平分线，同理，OB和OC分别是∠B和∠C的平分线，故选C .
【例3】：已知O是△ABC所在平面上的一点，若aOA?bOB?cOC=0 ，则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
解：∵OB?OA?AB，OC?OA?AC，则(a?b?c)OA?bAB?cAC= 0，得
AO?ABACbcABAC与分别为AB和AC方向上的单位向量，设(?). 因为
a?b?c|AB||AC||AB||AC|AP?ABAC，则AP平分∠BAC. 又AO、AP共线，知AO平分∠BAC. 同理可证BO平分∠ABC，CO?|AB||AC|平分∠ACB，所以O点是△ABC的内心.
【方法总结】：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先ABAB是什么？没见过！想想，一个
非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。 【针对性练习】:
1.O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP?OA??(???0,???则P点的轨迹一定通过?ABC的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
2.设O是?ABC的内心，AB?c,AC?b.若AO??1AB??2AC则( ) ，ABAB?ACAC)，
?1c2?1b?12b?12cA.? B.2? C.?2 .2? ?2ccb?2b?2?2
3.在?ABC中，AB?BC?2,AC?3,设O是?ABC的内心，若AO?pAB?qAC，则为 .
4.已知?ABC的内心为O,且AB?5,BC?23,AC?3，则AO?BC?
知识点二、将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
【例 4】: (湖南)P是△ABC所在平面上一点，若PA?PB?PB?PC?PC?PA，则P是△ABC的（D ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
p的值q
向量与三角形四心结合(纯干货)
