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一元二次方程
一、选择题
1．方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的解是（ ） A．x=3 B．x= C．x1=3，x2= D．x=﹣3
2．方程 （x+）2+（x+）（2x﹣1）=0的较大根为（ ） A．﹣
B． C． D．
3．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．12或14
D．以上都不对
4．关于x的方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（ ）
A．m=0，n=0 B．m=0，n≠0 C．m≠0，n=0 D．m≠0，n≠0
5．某厂改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品250元，降低到了每件160元，平均每月降低率为（ ） A．15%
B．20% C．5% D．25%
的一个解，则2a﹣1的值是（ ）
6．已知x=2是关于x的方程A．3 B．4
C．5 D．6
7．下列方程适合用因式方程解法解的是（ ） A．x2﹣3
x+2=0 B．2x2=x+4 C．（x﹣1）（x+2）=70 D．x2﹣11x﹣10=0
8．已知x=1是二次方程（m2﹣1）x2﹣mx+m2=0的一个根，那么m的值是（ ） A．或﹣1 B．﹣ C．或 1 D． 9．方程x2﹣（
+
）x+
=0的根是（ ）
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A．x1=，x2= B．x1=1，x2=
C．x1=﹣，x2=﹣
D．x=±
10．一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售．那么每台实际售价为（ ） A．（1+25%）（1+70%）a元 B．70%（1+25%）a元 C．（1+25%）（1﹣70%）a元
二、填空题
11．若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是﹣2，则另一个根是 ． 12．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是 ．
13．已知两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，那么这两个圆的位置关系是 ．
14．若方程x2﹣cx+2=0有两个相等的实数根，则c= ．
15．已知：m是方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则代数式2m﹣m2= ．
三、解答题： 16．解方程
（1）x2+3=3（x+1）； （2）3x2﹣x﹣1=0．
17．某公司一月份营业额为100万元，第一季度总营业额为331万元，问：该公司二、三月份营业额的平均增长率是多少？
18．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（min）之间满足：y=﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），求当y=59时所用的时间．
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D．（1+25%+70%）a元
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19．某企业1998年初投资100万元生产适销对路的产品，1998年底将获得的利润与年初的投资的和作为1999年初的投资，到1999年底，两年共获利润56万元，已知1999年的年获利率比1998年的年获利率多10个百分点（即：1999年的年获利率是1998年的年获利率与10%的和）．求1998年和1999年的年获利率各是多少？ 20．为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1=y，则
（x2﹣1）2=y2，原方程化为y2﹣5y+4=0．① 解得y1=1，y2=4
当y=1时，x2﹣1=1．∴x2=2．∴x=±当y=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±∴原方程的解为x1=解答问题：
（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想．
（2）解方程：x4﹣x2﹣6=0．
21．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ的面积为33cm2； （2）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．
，x2=﹣
，x3=
； ． ，x4=﹣
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一元二次方程
参考答案与试题解析
一、选择题
1．方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的解是（ ） A．x=3 B．x= C．x1=3，x2= D．x=﹣3 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】计算题．
【分析】本题应对方程进行移项，提取公因式x﹣3，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题． 【解答】解：原方程变形为：2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）=0 ∴（2x﹣5）（x﹣3）=0 ∴x1=3，x2=．故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
2．方程 （x+）2+（x+）（2x﹣1）=0的较大根为（ ） A．﹣
B． C． D．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】利用因式分解法得到（x+）2+（x+）（2x﹣1）=（x+）[（x+）+（2x﹣1）]=0，推出（x+）=0，[（x+）+（2x﹣1）]=0，求出方程的解即可．
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【解答】解：∵（x+）2+（x+）（2x﹣1）=0， ∴（x+）[（x+）+（2x﹣1）]=0， ∴（x+）=0，[（x+）+（2x﹣1）]=0， x1=﹣，x2=， 故较大根为， 故选：B．
【点评】此题主要考查了因式分解解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键．
3．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．12或14
D．以上都不对
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．
【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【解答】解：解方程x2﹣12x+35=0得：x=5或x=7． 当x=7时，3+4=7，不能组成三角形； 当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形． ∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B．
【点评】本题主要考查三角形三边关系，注意在求周长时一定要先判断是否能构成三角形．
4．关于x的方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（ ）
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A．m=0，n=0 B．m=0，n≠0 C．m≠0，n=0 D．m≠0，n≠0
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；一元二次方程的解．
【分析】代入方程的解求出n的值，再用因式分解法确定m的取值范围． 【解答】解：方程有一个根是0，即把x=0代入方程，方程成立． 得到n=0；
则方程变成x2+mx=0，即x（x+m）=0 则方程的根是0或﹣m， 因为两根中只有一根等于0， 则得到﹣m≠0即m≠0
方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，正确的条件是m≠0，n=0． 故选C．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义，以及因式分解法解一元二次方程．
5．某厂改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品250元，降低到了每件160元，平均每月降低率为（ ） A．15%
B．20% C．5% D．25%
【考点】一元二次方程的应用． 【专题】增长率问题．
【分析】降低后的价格=降低前的价格×（1﹣降低率），如果设平均每次降价的百分率是x，则第一次降低后的价格是250（1﹣x），那么第二次后的价格是250（1﹣x）2，即可列出方程求解．
【解答】解：如果设平均每月降低率为x，根据题意可得
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250（1﹣x）2=160，
∴x1=0.2，x2=1.8（不合题意，舍去）． 故选B．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）
6．已知x=2是关于x的方程A．3 B．4
C．5 D．6
的一个解，则2a﹣1的值是（ ）
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=2代入已知方程可以求得2a=6，然后将其整体代入所求的代数式进行解答．
【解答】解：∵x=2是关于x的方程∴×22﹣2a=0，即6﹣2a=0， 则2a=6，
∴2a﹣1=6﹣1=5． 故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
7．下列方程适合用因式方程解法解的是（ ） A．x2﹣3
x+2=0 B．2x2=x+4 C．（x﹣1）（x+2）=70 D．x2﹣11x﹣10=0
的一个解，
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【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】计算题．
【分析】本题可将选项先化简成ax2+bx+c=0，看是否可以配成两个相乘的因式，满足则方程适用因式分解．
【解答】解：根据分析可知A、B、D适用公式法． 而C可化简为x2+x﹣72=0，即（x+9）（x﹣8）=0， 所以C适合用因式分解法来解题．故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
8．已知x=1是二次方程（m2﹣1）x2﹣mx+m2=0的一个根，那么m的值是（ ） A．或﹣1 B．﹣ C．或 1 D． 【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=1代入方程（m2﹣1）x2﹣mx+m2=0，得出关于m的方程，求出方程的解即可．
【解答】解：把x=1代入方程（m2﹣1）x2﹣mx+m2=0得：（m2﹣1）﹣m+m2=0， 即2m2﹣m﹣1=0， （2m+1）（m﹣1）=0， 解得：m=﹣或1，
当m=1时，原方程不是二次方程，所以舍去． 故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程的应用，解此题的关键是得出
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关于m的方程．
9．方程x2﹣（A．x1=
，x2=
+
）x+
=0的根是（ ）
C．x1=﹣
，x2=﹣
D．x=±
B．x1=1，x2=
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】因式分解．
【分析】本题运用的是因式分解法来解题，将方程化为因式的乘积，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题． 【解答】解：原方程变形为：（x﹣解得x=故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．
10．一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售．那么每台实际售价为（ ） A．（1+25%）（1+70%）a元 B．70%（1+25%）a元 C．（1+25%）（1﹣70%）a元 【考点】列代数式． 【专题】应用题．
【分析】每台实际售价=销售价×70%．
【解答】解：可先求销售价（1+25%）a元，再求实际售价70%（1+25%）a元．故选B．
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）（x﹣）=0，
或x=．
D．（1+25%+70%）a元
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【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 用字母表示数时，要注意写法：
①在代数式中出现的乘号，通常简写做“?”或者省略不写，数字与数字相乘一般仍用“×”号；
②在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写； ③数字通常写在字母的前面； ④带分数的要写成假分数的形式．
二、填空题
11．若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是﹣2，则另一个根是 1 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】欲求方程的另一个根，可将该方程的已知根﹣2代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出另一个根． 【解答】解：设方程的另一根为x1，又∵x2=﹣2． ∴
，
解方程组可得x1=1．
【点评】此题也可用此方法解答：将﹣2代入一元二次方程可求得k=﹣2，则此一元二次方程为x2+x﹣2=0，解这个方程可得x1=﹣2，x2=1．
12．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500
元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是 3200（1﹣x）2=2500 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
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【专题】增长率问题．
【分析】本题可根据：原售价×（1﹣降低率）2=降低后的售价得出两次降价后的价格，然后即可列出方程．
【解答】解：依题意得：两次降价后的售价为3200（1﹣x）2=2500， 故答案为：3200（1﹣x）2=2500．
【点评】本题考查降低率问题，由：原售价×（1﹣降低率）2=降低后的售价可以列出方程．
13．已知两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，那么这两个圆的位置关系是 相交 ．
【考点】圆与圆的位置关系；解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】由两圆的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，利用因式分解法即可求得两圆的半径，又由两圆的圆心距为3，即可求得这两个圆的位置关系． 【解答】解：∵x2﹣4x+3=0， ∴（x﹣1）（x﹣3）=0， 解得：x1=1，x2=3， ∴两圆的半径分别是1，3， ∵1+3=4＞3，3﹣1=2＜3， ∴这两个圆的位置关系是：相交． 故答案为：相交．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法．此题难度不大，解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系得出两圆位
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置关系．
14．若方程x2﹣cx+2=0有两个相等的实数根，则c= ±2【考点】根的判别式．
【分析】根据方程x2﹣cx+2=0有两个相等的实数根，得出△=b2﹣4ac=0，然后进行计算即可．
【解答】解：∵方程x2﹣cx+2=0有两个相等的实数根， ∴△=（﹣c）2﹣4×1×2=0， ∴c=±2
；
．
．
故答案为：±2
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
15．已知：m是方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则代数式2m﹣m2= ﹣3 ． 【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=m代入方程x2﹣2x﹣3=0得出m2﹣2m﹣3=0，再移项，即可得出答案．
【解答】解：把x=m代入方程x2﹣2x﹣3=0得：m2﹣2m﹣3=0， ∴2m﹣m2=﹣3， 故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，解此题的关键是得出关于m的方程．
三、解答题：
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16．解方程
（1）x2+3=3（x+1）； （2）3x2﹣x﹣1=0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣公式法． 【专题】计算题．
【分析】（1）方程整理后利用因式分解因式求出解即可；
（2）找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解． 【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣3x=0， 即x（x﹣3）=0， 解得：x1=0，x2=3；
（2）这里a=3，b=﹣1，c=﹣1， ∵△=1+12=13， ∴x=
．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17．某公司一月份营业额为100万元，第一季度总营业额为331万元，问：该公司二、三月份营业额的平均增长率是多少？ 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】增长率问题．
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．即可表示出二月与三月的营业额，根据第一季度总营业额为331万元，即可列方程求解．
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【解答】解：设该公司二、三月份营业额平均增长率是x． 根据题意得100+100（1+x）+100（1+x）2=331， 解得x1=0.1，x2=﹣3.1（不合题意，舍去）． 答：该公司二、三月份营业额平均增长率是10%．
【点评】解与变化率有关的实际问题时：（1）主要变化率所依据的变化规律，找出所含明显或隐含的等量关系；
（2）可直接套公式：原有量×（1+增长率）n=现有量，n表示增长的次数．
18．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（min）之间满足：y=﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），求当y=59时所用的时间． 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】其他问题．
【分析】将59代入y=﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），求解即可． 【解答】解：由题意可得， ﹣0.1x2+2.6x+43=59， 解得x=10，x=16， 经检验均是方程的解．
因此当y=59时所用的时间是10或16分钟．
【点评】可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
19．某企业1998年初投资100万元生产适销对路的产品，1998年底将获得的利润与年初的投资的和作为1999年初的投资，到1999年底，两年共获利润56万元，已知1999年的年获利率比1998年的年获利率多10个百分点（即：1999年的年获利率是
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1998年的年获利率与10%的和）．求1998年和1999年的年获利率各是多少？ 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】销售问题．
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解答，本题的等量关系是：
98年的获利额+99年的获利额=56万元，可由此列方程求解．
【解答】解：设98年的年获利率为x，那么99年的年获利率为x+10%，由题意得， 100x+100（1+x）（x+10%）=56．
解得：x=0.2，x=﹣2.3（不合题意，舍去）． ∴x+10%=30%．
答：1998年和1999年的年获利率分别是20%和30%．
【点评】此题结合投资与获利的实际问题，考查了列一元二次方程的能力．解答此题要注意以下问题：
（1）求出1998和1999两年的获利； （2）根据两年共获利润56万元列方程．
20．为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1=y，则
（x2﹣1）2=y2，原方程化为y2﹣5y+4=0．① 解得y1=1，y2=4
当y=1时，x2﹣1=1．∴x2=2．∴x=±当y=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±
； ．
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∴原方程的解为x1=解答问题：
，x2=﹣，x3=，x4=﹣
（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元 法达到了降次的目的，体现了 转化 的数学思想． （2）解方程：x4﹣x2﹣6=0． 【考点】换元法解一元二次方程． 【专题】阅读型．
【分析】（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；
（2）设x2=y，原方程可化为关于y的方程，求出方程的解得到y的值，即可确定出x的值．
【解答】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想； 故答案为：换元；转化；
（2）设x2=y，原方程可化为y2﹣y﹣6=0， 解得：y1=3，y2=﹣2，
∵x2=y＞0，∴y1=3，即x2=3， 则x=±
．
【点评】此题考查了换元法解一元二次方程，认真阅读题中的解法是解本题的关键．
21．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2
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cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ的面积为33cm2； （2）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．
【考点】一元二次方程的应用． 【专题】几何动点问题；压轴题．
【分析】（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm，根据梯形的面积公式可列方程：（16﹣3x+2x）×6=33，解方程可得解；
（2）作QE⊥AB，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．
【解答】解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，
则PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm，
根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6=33， 解之得x=5，
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm， 作QE⊥AB，垂足为E， 则QE=AD=6，PQ=10，
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∵PA=3t，CQ=BE=2t，
∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|， 由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102， 解得t1=4.8，t2=1.6．
答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2； （2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．
【点评】（1）主要用到了梯形的面积公式：S=（上底+下底）×高；（2）作辅助线是关键，构成直角三角形后，用了勾股定理．
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《一元二次方程》专题练习含答案解析
