善用数学思想方法做好教与学
作者：马淑敏
来源：《新教育·综合版》 2024年第6期
海南省海南中学 马淑敏
数学思想方法的研究源远流长，前人也对此解构出了较为成熟的理论体系。笔者结合自身的教学经验认为，数形结合法、分类讨论法、转化与化归、函数与方程、一般化与特殊化、变更、比较与类比、美学等。若能够紧密结合这些基本思想方法进行教与学，即意味着把握了初中数学教学的精髓，对师生的教、学的双向能力的提高大有裨益。
一、数形结合思想
“数”和“形”这两个基础概念，既有联系，又有区别，在数学教育研讨中，或是把此类问题从数量关系中利用图形来代替研习，又或者在图形中抽象出能够通过数字加以衡量的量化关系。
例如：1.列方程解应用题中的画图分析，如行程问题的教学中，经常是利用画线段图来分析题目中的数量关系；在有理数一章中，如有理数的加法法则的得出是借助线段图去理解的；初步统计内容中的绘制统计图表，用这些统计图表将数据的分布情况和发展趋势直观化等，实际上就是以“形”达成对“数”的直观体现；2.三角函数在解三角形这一知识运用中的引入，这是用代数方法解决几何问题，充分利用“数”来反映“形”。这些具体实例都是利用数与形相结合去解决问题的很好佐证。
数形结合的思想方法，同样适合运用于解决一些抽象的、直观上难于理解的实际问题。
例1：文具店里有20位同学，有11人购买了笔记本，有9人购买了橡皮擦，且有4人购买了这两种学习用具，问有几人没有购买？
【解法指导】如图1，可用两个集合分别表示购买笔记本的人数和购买橡皮擦的人数，则显而易见共有7＋4＋5＝16人买书，于是得出有4人没有购买。利用一个图形，借助数形结合的思想就可以直观、准确并快速地解决这类实际生活中的问题。
二、分类讨论思想
在整个初中数学的教与学过程中，分类讨论思想的讨论与应用是我们研究数学问题时不可或缺的一种思想方法。我们在教学中，需要帮助学生理解分类的原则与原理，掌握分类的
方法与技巧，让学生在分类时努力做到：1.不重复；2.不遗漏；3.标准统一。我们教师要循序渐进地培养学生在头脑中形成自觉运用分类讨论方法的思维习惯。
初中数学教材中出现的教学内容，整体上可以分为数与代数、几何与图形和统计与概率三大类，这本身就体现了分类讨论的思想方法。
从具体内容上看，在初中数学教材中含有有理数、实数、整式、方程、函数、角、三角形、四边形等各种分类内容，都是分类讨论数学思想的运用的体现。
分类讨论思想经常应用于初中数学的教学方法中。比如：
1.在“有理数的加法”教学中，引导学生对线段演示图形进行仔细观察、认真思考、合作探究后，将有理数的加法分为三类情况探究，进而归纳有理数的加法法则。遵循这样的分类条理性地开展教学工作，不仅能够使学生对具体的“法则”稳固掌握，并且学生在学习过程中能够更直观体会并深刻理解“分类讨论”这一数学思想方法，以便更好地运用其解决更多的分类讨论的问题，如乘法和除法法则等。
2.在判断“-a一定小于零吗？”时，引导学生有意识地把a分为是正数、零和负数三种情况进行分类讨论，就不易出现错误。
3.人教版七年级下册教材中学到实数，可以如图2分类,学生在以后做题时则很容易对各个对象进行联想，即体系化地将数学概念分门别类地进行归纳，将实数与有理数和无理数联系起来的同时，又能将有理数和整数与分数联系起来。
4.在探究圆周角定理时，教师在教学中可以用实物进行演示，并提醒学生遇到此类问题要先在脑海中形成这三种情形的图像后再分别加以证明，实际上这也体现了分类讨论的思想方法。这样的分类讨论和转化对学生理解定理的产生、发现、论证的过程是非常有帮助的，学生在这样的探究过程中也一定会受益匪浅。
三、转化与化归思想
当我们根据学生已储备的数学知识和解题方法、经验，辅以学生观察法、类比法、联想法等方法，把问题的设问方式不断地进行变换，直至转化为学生能够解决或者容易自行解决的问题。
学生在解题过程中，把问题进行不断转化就是我们所谓的化归意识，这种意识的形成有利于学生在数学解题过程中，就能熟练地使用各种转化方法，如数形转换、化高次为低次、化多元为一元、化未知为已知、化一般为特殊、化特殊为一般、化抽象为具体、化新题为旧题、化不规则为规则等，从而化隐为显，化繁为简，化难为易。
我们教师需要在数学教学中注重展示特定思维发展所对应的背景材料，引导学生明确化归方法的应用目标，充分展示思路，寻找方法，形成模式，培养意识，进一步加强学生对知识的理解、掌握和运用，从而使学生能够形成习惯并将化归思想融为学生的自身素养、品质，从而带动个人的全面发展。
四、函数与方程思想
将实际问题抽象化，用方程或函数的模型表现出来，再通过解决函数或方程本身的问题达成解决实际问题的最终目的，其中也蕴含了建模的思想方法。例如：学生在解决常见的“鸡兔同笼”问题时，通过一系列思考后，学生会采取逐一列举法、奇思妙想法、方程法等解题方法，老师在教授时，将学生所列举的解法进行对比，从而使学生进一步感受到在解决总量问题时，我们应用方程法来解题会更简单易懂且更加方便。
对于函数与方程思想方法而言，唯物辩证法的总特征对教师的教学提出了高要求。尽管初中数学的学习在后阶段才系统介绍了函数知识，但前期的数学教材内容早已体现、渗透着函数背后的数学思维。有计划、有目的地在教学全过程中，加深培养学生运用函数思想的意识是对我们教师的教学目标。
学生通过教师指导后，能够采用唯物辩证法的运动规律来把静态知识转化为动态知识，进而有效地逐步培养学生的函数与方程思想，树立学生在实际生活中善于运用函数与方程思想方法去解决遇到问题的意识。
五、一般化与特殊化思想
将研究对象的原有范围做出扩大或是从原有范围缩小或限制为个别情形进行考查，我们称之为一般化与特殊化的思想。
比如：运算法则、运算律的归纳往往都是由一些特殊的例子进行观察，进而总结出来的，再利用法则去解决相关问题；解一元一次方程时，先由几个方程的解的过程概括出解一元一次方程的一般步骤，这是解一元一次方程的通法，然后再根据一般步骤这个通法去解更多的一元一次方程，这样的通法产生于运用的过程是由特殊到一般的运用思路，再将通法进行运用去解更多的题目，这是由一般到特殊的运用思路。
还比如平方根、立方根的特征的概括与运用，勾股定理的探索乃至证明及运用等，都是一般化与特殊化的数学思想方法的运用。
六、比较与类比思想
教学中，要引导学生把相近的、相对的、相似的知识加以比较和类比，找出其异同，以促进知识的理解与掌握。
在教学内容上，例如：1.类比有理数的基本概念、运算律等内容学习实数的相应知识。2.对于方程的概念，如初中阶段学习的方程式中，从一元一次方程学习之初，就可以引导学生抓住以下三个要素：一是是否为整式方程；二是有几个未知数；三是未知数的次数是几次。把握了这三个要点，这几个概念就都掌握清楚了，加强了对比，比较了异同，而且记忆深刻。3.等式与不等式两者间的概念及性质对比、解方程与解不等式的概念、步骤、应用的对比等，就可以清楚地明确二者的异同点，对于相关知识的掌握是大有裨益的。4.对于整式乘除与因式分解这两个内容，抓住二者的互逆“运算”关系，就容易进行区分和灵活运用。5.对于三角形与四边形的学习，要明确它们的研究方法，一是抓住构成图形的基本元素，即边、角、对角线
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