37.已知函数f(x)?lnx?12ax?2x(a?0). 2（1）若函数f(x)在定义域内单调递增，求a的取值范围； （2）若a??围；
（3）设各项为正的数列{an}满足：a1?1,an?1?lnan?an?2,n?N*.求证：an?2n?1
11且关于x的方程f(x)??x?b在?1,4?上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范22ax2?2x?1(x?0). 解：（1）f?(x)??x依题意f?(x)?0在x?0时恒成立，即ax?2x?1?0在x?0恒成立.
21?2x112x?0?(?1)?1a?((?1)2?1)min(x?0) 在恒成立，即2xxx12当x?1时，(?1)?1取最小值?1
x则a?∴a的取值范围是(??,?1] ??4?
（2）a??1113,f(x)??x?b?x2?x?lnx?b?0. 2242123(x?2)(x?1).列表： 设g(x)?x?x?lnx?b(x?0).则g?(x)?422xx g?(x) g(x) (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) ? ? 0 极大值 ? ? 0 极小值 ? ? ∴g(x)极小值?g(2)?ln2?b?2，g(x)极大值?g(1)??b?5，又g(4)?2ln2?b?2 ??6? 4?方程g(x)?0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.
?g(1)?05?则?g(2)?0， 得 ln2?2?b?? ????8?
4?g(4)?0?（3）设h(x)?lnx?x?1,x??1,???，则h?(x)?1?1?0 x?h(x)在?1,???为减函数，且h(x)max?h(1)?0,故当x?1时有lnx?x?1.
?a1?1.假设ak?1(k?N*),则ak?1?lnak?ak?2?1，故an?1(n?N*).
从而an?1?lnan?an?2?2an?1.?1?an?1?2(1?an)????2(1?a1).
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n即1?an?2n，∴an?2n?1 ????
38.已知y?f(x)?xlnx．
（1）求函数y?f(x)的图像在x?e处的切线方程；
f(x)在?a,2a?上的最小值； a12（3）证明对一切x?(0,??)，都有lnx?x?成立．
exe（2）设实数a?0，求函数F(x)?? 1?f(e)?e 又 ?k?f/(e)?2 解：（1）?f(x)定义域为?0,??? f?(x)?lnx?函数y?f(x)的在x?e处的切线方程为：y?2(x?e)?e，即y?2x?e ……3分
（2）F(x)?'11(lnx?1)令F'(x)?0得x? 当x?0,1，F'(x)?0，F(x)单调递减，当
eae??x?1,??，F'(x)?0，F(x)单调递增． …………5分
e??1时，F(x)在?a,2a?单调递增，[F(x)]min?F(a)?lna，…………6分 e11111?a?时，[F(x)]min?F()??…………7分 （ii）当a??2a即
e2eeee11（iii）当2a?即0?a?时，F(x)在?a,2a?单调递减，[F(x)]min?F(2a)?2ln(2a)………………8
e2e（i）当a?分
(3)问题等价于证明xlnx?x?2(x?(0,??))， xee由(2)可知f(x)?xlnx(x?(0,??))的最小值是?1，当且仅当x?1时取得最小值……10分
ee设m(x)?x?2(x?(0,??))，则m'(x)?1?xx， xeee当x?(0,1)时m?(x)?0，m(x)单调递增；当x?(1,??)时m?(x)?0,m(x)单调递减。故，当且仅当x?1时取得最大值…………12分 ?m(x)?max?m(1)??1e所以[f(x)]min??1?[m(x)]max且等号不同时成立，即xlnx?xx?2(x?(0,??))
eee2成立．…………13分 从而对一切x?(0,??)，都有lnx?1?exex
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22．（本小题满分14分）已知函数f(x)?ln(x?a)?x2?x在x?0处取得极值． （I）求实数a的值；
5x?b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围； （II）若关于x的方程f(x)??2（III）证明：对任意正整数n，不等式lnn?1n?n?1n2都成立．
22．解：（I）f?(x)?1x?a?2x?1, ?????????????????2分 ?x?0时，f(x)取得极值，
?f?(0)?0, ?????????????????????????3分
故
10?a?2?0?1?0，解得a=1， 经检验a=1符合题意．???????????????????????4分
（II）由a=1知f(x)?ln(x?1)?x2?x,由f(x)??52x?b, 得ln(x?1)?x2?3232x?b?0, 令?(x)?ln(x?1)?x?2x?b,
则f(x)??52x?b在[0,2]上恰有两个不同的实数根等价于
?(x)?0在[0，2]上恰有两个不同的实数根．???????5??(x)?13?(x?1?2x?2?4x?5)(x?1)2(x?1), ?????6分 当x?(0,1)时,??(x)?0,于是?(x)在(0,1)上单调递增 当x?(1,2)时,??(x)?0,于是?(x)在(1,2)上单调递减．
???(0)??b?0,依题意有???(1)?ln(1?1)?1?3?b?0,
?2???(2)?ln(1?2)?4?3?b?0,?ln3?1?b?ln2?12. ???????9分
（III）f(x)?ln(x?1)?x2?x的定义域为{x|x??1}, ?????10分
由（1）知f?(x)??x(2x?3)x?1, ???????????????11分
18
分
令f?(x)?0得,x?0或x??3（舍去），?当?1?x?0时,f?(x)?0,f(x)单调递增； 2当x>0时，f?(x)?0,f(x)单调递减．?f(0)为f(x)在(?1,??)上的最大值．（12分）
?f(x)?f(0),故ln(x?1)?x2?x?0（当且仅当x=0时，等号成立）???13分
对任意正整数n，取x?
1111n?1n?1?0得，ln(?1)??2,故ln?2. 14分 nnnnnn
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2012年高考数学压轴大题及答案详解
