2(3)S?ABF?S?PBF?S?PAF?1|PF|?|y2?y1|?72m?4
23m2?472m2?4??3(m2?4)?16723m?4?216m2?4?7223?16?33
当且仅当3m2?4?16即m2?28（此时适合△＞0的条件）取得等号.
3m2?4∴三角形ABF面积的最大值是33
a?x2?lnx23已知函数f(x)=x1???a?R,x?[,2]?
2??(1)当a?[?2,)时, 求f(x)的最大值;
(2) 设g(x)?[f(x)?lnx]?x2, k是g(x)图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a，使得k?1恒成立?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由．
14(2)存在a?(??,]符合条件 解: 因为g(x)?[f(x)?lnx]?x2=ax?x3
不妨设任意不同两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)，其中x1?x2
3y1?y2a(x1?x2)?(x2?x13)k??x?xx1?x2则 122?a?(x12?x1x2?x2)74 11
2由 k?1知:a? 1+(x12?x1x2?x2)
2又?x2?4 故a?
1474故存在a?(??,)符合条件． ?12分
解法二:据题意在y?g(x)图象上总可以在找一点P(x0,y0)使以P为切点的切线平行图象上任意两点的连线,即存在k?g(x1)?g(x2)2?g'(x0)?a?3x0?1
x1?x274772?a?1?3x0?故存在a?(??,)符合条件． 44
27已知M经过点G(0,?1)，且与圆Q:x?(y?1)?8内切.
22（Ⅰ）求动圆M的圆心的轨迹E的方程.
B，在曲线E上是否存在点P使四边（Ⅱ）以m?(1,2)为方向向量的直线l交曲线E于不同的两点A、形OAPB为平行四边形（O为坐标原点）.若存在，求出所有的P点的坐标与直线l的方程；若不存在，
请说明理由.
解:（Ⅰ）依题意，动圆与定圆相内切，得|MG|?|MQ|?22，可知M到两个定点G、Q的距离和为常数，并且常数大于|GQ|，所以P点的轨迹为椭圆，可以求得a?2，c?1，b?1，
y2?1．……………………5分 所以曲线E的方程为x?22（Ⅱ）假设E上存在点P，使四边形OAPB为平行四边形．
y2?1. 由 （Ⅰ）可知曲线E的方程为x?22设直线l的方程为y?2x?m，A(x1，y1)，B(x2，y2).
?y?2x?m;?由?，得 y22?1.?x?2?4x2?22mx?m2?2?0，
m2?22m由??0得m?4，且x1?x2??，x1x2?，………7分
422m2?2则y1y2?(2x1?m)(2x2?m)?，
2 12
y1?y2?(2x1?m)?(2x2?m)?m，
E上的点P使四边形OAPB为平行四边形的充要条件是OP?OA?OB，
即P点的坐标为（ x1?x2,y1?y2）(y1?y2)2?1， 且(x1?x2)?22yy2又x1?1?1，x2?2?1 ，所以可得2x1x2?y1y2?1?0，…………9分
2222可得m?1，即m?1或m??1．
22当m?1时，P(?2，1)，直线l方程为y?2x?1； 22，?1)，直线l方程为 2当m??1时，P(y?2x?1．……………………12分
29
A﹑B﹑C是直线l上的三点，向量OA﹑OB﹑OC满足： OA-[y+2f?(1)]·OB+ln(x+1)·OC=0 ； （Ⅰ）求函数y=f(x)的表达式； （Ⅱ）若x＞0, 证明f(x)＞（Ⅲ）当
2x； x?212x?f(x2)?m2?2bm?3时,x???1,1?及b???1,1?都恒成立，求实数m的取值范围。 2解I）由三点共线知识，
??∵OA?[y?2f(1)]OB?ln(x?1)]?OC?0,∴OA?[y?2f(1)]OB?ln(x?1)]?OC,∵A﹑B﹑C三点共
线，
?∴[y?2f(1)]?[?ln(x?1)]?1 ?∴y?f(x)?ln(x?1)?1?2f(1).
11??f(x)?f(1)?∴x?1∴2，
∴f(x)=ln(x+1)??????4分
2x(Ⅱ)令g(x)=f(x)－x?2,
13
x2?由g(x)?(x?1)(x?2)2，
?∵x>0∴g(x)?0
2x∴g(x)在 (0,+∞)上是增函数,故g(x)>g(0)=0,即f(x)> x?2;???8分
1222x?f(x)?m?2bm?3,令 （III）原不等式等价于2x3?x121222?h(x)= 2x?f(x)=2x?ln(1?x),由h(x)?1?x2,
当x∈[-1,1]时,[h(x)]max=0, ∴m-2bm-3≥0,令Q(b)= m-2bm-3，则由Q(1)≥0及Q（-1)≥0解得m≤-3
或m≥3. ????12分
32.已知抛物线W:y?ax2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同直线l1,l2. （Ⅰ）求抛物线W的方程及准线方程；
（Ⅱ）当直线l1与抛物线W相切时，求直线l2的方程
（Ⅲ）设直线l1,l2分别交抛物线W于B，C两点（均不与A重合），若以线段BC为直径的圆与抛物线的准`线BC的方程.
解：（Ⅰ）由于A(2,1)在抛物线y?ax2上， 所以 1?4a，即a? 故所求抛物线的方程为y?2
2
1. ………….2分 412x，其准线方程为y??1. ……………….3分 4x?2（Ⅱ）当直线l1与抛物线相切时，由y??1，可知直线l1的斜率为1，其倾斜角为45?，所以直线l2的倾
斜角为135?，故直线l2的斜率为?1，所以l2的方程为y??x?3 …6分 （Ⅲ）不妨设直线AB的方程为y?1?k(x?2) (k?0)， ………………8分
?y?1?k(x?2)? 由? 得x2?4kx?8k?4?0,……….10分 12y?x??4 易知该方程有一个根为2，所以另一个根为4k?2， 所以点B的坐标为(4k?2,4k2?4k?1),
同理可得C点坐标为(?4k?2,4k?4k?1), ……………….11分 2yCAOBxy??1所以|BC|?[(4k?2)?(?4k?2)]2?[(4k2?4k?1)?(4k2?4k?1)]2
?(8k)2?(?8k)2?82k, ……………….9分
线段BC的中点为(?2,4k2?1)，因为以BC为直径的圆与准线y??1相切，
14
2所以 4k2?1??(1?)4k,由于2k?0， 解得 k?2. …………….10分 此时，点B的坐标为(22?2,3?22)，点C的坐标为(?22?2,3?22)，
直线BC的斜率为(3?22)?(3?22)(?22?2)?(22?2)??1，
所以，BC的方程为y?(3?22)??[x?(22?2)]，即x?y?1?0. …….12分
33.已知函数f?x?和g?x?的图象关于原点对称，且f?x??x2?2x． (Ⅰ)求函数g?x?的解析式； (Ⅱ)解不等式g?x??f?x??x?1；
(Ⅲ)若h?x??g?x???f?x??1在??1,1?上是增函数，求实数?的取值范围．
解：(Ⅰ)设函数y?f?x?的图象上任意一点Q?x0,y0?关于原点的对称点为P?x,y?，??x0?x??0,?2即??y?x0??x, 0?yy??y.??0,?0?2∵点Q?x0,y0?在函数y?f?x?的图象上
∴?y?x2?2x，即y??x2?2x, 故g?x???x2?2x (Ⅱ)由g?x??f?x??x?1， 可得2x2?x?1?0 当x?1时，2x2?x?1?0，此时不等式无解。
当x?1时，2x2?x?1?0，解得?1?x?12。 因此，原不等式的解集为???1,1??2??。
（Ⅲ）h?x????1???x2?2?1???x?1
①当???1时，h?x??4x?1在??1,1?上是增函数， ? ???1
②当???1时，对称轴的方程为x?1??1??.
ⅰ）当???1时,1??1????1,解得???1.
ⅱ）当???1时,1??1????1,解得?1???0. 综上，??0.
15
则
2012年高考数学压轴大题及答案详解
