辽宁省锦州市2020年高二第二学期数学期末学业质量监测试题含解析

由天下分享时间：2024/12/18 22:40:30 加入收藏我要投稿点赞

∴实数a?1.

（2）在（1）的条件下，f?x??2x?1?1，

∴存在实数x使f?x??f??x??m成立，即2x?1?2x?1?2?m，由于2x?1?2x?1??2x?1???2x?1??2， ∴2x?1?2x?1的最小值为2， ∴m≥4，

故实数m的取值范围是4,???. 【点睛】

本小题主要考查根据绝对值不等式的解集求参数，考查利用绝对值不等式求解存在性问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

18．2018年6月14日，第二十一届世界杯尼球赛在俄罗斯拉开了帷幕，某大学在二年级作了问卷调查,从该校二年级学生中抽取了90人进行调查,其中女生中对足球运动有兴趣的占40%，而男生有12人表示对足球运动没有兴趣.

（1）完成2?2列联表,并回答能否有99.9%的把握认为“对足球是否有兴趣与性别有关”？男女合计有兴趣没有兴趣合计 ?50 （2）若将频率视为概率,现再从该校二年级全体学生中,采用随机抽样的方法每饮抽取1名学生,抽取3次，记被抽取的3名学生中对足球有兴趣的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望. 附:

PK2?k0 k0 ??0.025 5.024 n?ad?bc?20.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 K2??a?b??c?d??a?c??b?d?9. 5

【答案】（1）有；（2）【解析】

2列联表，计算K2，判断有99.9%的把握认为“对足球有兴趣与性别有分析：（1）根据已知数据完成2×关”.（2）先求得从大二学生中抽取一名学生对足球有兴趣的概率是和数学期望.

详解：（1）根据已知数据得到如下列联表：男女合计有兴趣没有兴趣合计 3，再利用二项分布求X的分布列538 16 12 50 40 24 54 36 90?38?24?12?16?50?40?54?36290 根据列联表中的数据，得到K2??12?10.828,

所以有99.9%的把握认为“对足球有兴趣与性别有关”. （2）由列联表中数据可知，对足球有兴趣的学生频率是即从大二学生中抽取一名学生对足球有兴趣的概率是有题意知X~B?3,?,X?0,1,2,3,

3，将频率视为概率， 53， 5??3?5?380?2? , P?X?0??C3????5?125?2?336,

P?X?1??C?????5?512513254?2??3?, P?X?2??C32??????55125????27?3?, P?X?3??C????5?1253332从而X的分布列为

X P 0 1 36 1252 54 1253 27 1258 12539E?X??3??.

55点睛：(1)本题主要考查独立性检验，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)若 ?～B(n,p),则E??np.

19．已知函数f(x)?ln(1?),（1）证明：f()?x；

axf(1)?ln2.

1x1[f(2)?f(22)???f(2n)]?m对任意的n?N*均成立，求实数m的最小值. n?1115【答案】（1）证明见解析（2）ln

38（2）若【解析】【分析】

(1)由f(1)?ln2可得f(x)?ln(1?),x?(??,?1)?(0,??)再构造函数F(x)?ln(1?x)?x,分析函数单调性求最值证明即可.

1xT1[f(2)?f(22)??f(2n)]?n,再根据g(n?1)?g(n)的正负分析n?1n?1115函数g(n)的单调性可知g(2)?ln为最大值,进而求得实数m的最小值即可.

38(2)根据题意构造函数g(n)?【详解】

（1）证明：由f(1)?ln2,得a?1,

1f(x)?ln(1?),x?(??,?1)?(0,??).

x1?x??1?设F(x)?ln(1?x)?x,F(x)?, 1?x1?x所以,函数F(x)在(?1,0)上单调递增,在(0,??)单调递减,所以,F(x)?F(0)?0.

1x11所以,f()?x?0,所以,f()?x成立.

xx1111[f(2)?f(22)?（2）解：设Tn?ln(1?)?ln(1?2)???ln(1?n),g(n)?222n?1111313g(1)?ln(1?)?ln?ln(3?),

222268111115133g(2)?[ln(1?)?ln(1?2)]?ln?ln(3?),

32238664又因为f()?x?ln(1?x)?x（其中x?(?1,0)?(0,??)）, 所以,g?2??g?1?. 下面证明当n?2,?f(2n)]?Tn. n?1n?N*时,g(n?1)?g(n)成立.

g(n?1)?g(n)?T11[Tn?ln(1?n?1)]?n n?22n?1?(n?1)[Tn?ln(1?11)]?(n?2)T(n?1)ln(1?)?Tnnn?1 2n?12?(n?2)(n?1)(n?2)(n?1)[2ln(1??1111)?ln(1?)]?[ln(1?)?ln(1?)]?n?1n?122222(n?2)(n?1)?[ln(1?11)?ln(1?)]n?1n22,

111111?1????1?ln(1?)?ln(1?)??ln(1?), ,所以2n?12n222n?12n221111,ln(1?n?1)?ln(1?n)?0. 所以?ln(1?n?1)?ln(1?2)?0,2222因为0?1?1211?2n?1(2?2n)又因为当n?2时,(1?n?1)?(1?)??0, 2n?2222所以2ln(1?11)?ln(1?)?0,所以g(n?1)?g(n)?0, n?122所以,当n?2时,g(n?1)?g(n).

故,g(1)?g(2)?g(3)?g(4)??.所以,g(n)的最大值为g(2)?所以,m的最小值为ln【点睛】

本题主要考查了利用导数证明函数不等式的问题,同时也考查了数列中求最大值项的方法.需要构造数列求解g(n?1)?g(n)的正负判断,属于难题.

20．假设某种人寿保险规定，投保人没活过65岁，保险公司要赔偿10万元；若投保人活过65岁，则保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付4万元已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.9，随机抽取4个投保人，设其中活过65岁的人数为X，保险公司支出给这4人的总金额为Y万元(参考数据：0.94?0.6561)

(1)指出X服从的分布并写出Y与X的关系； (2)求P(Y?22).(结果保留3位小数)

【答案】 (1) X~B(4,0.9)；Y?40?6X ；(2) 【解析】【分析】

（1）先由题意可得，X服从二项分布；再由题意得到Y?10(4?X)?4X，化简即可得出结果；

（2）先由Y?22，根据（1）的结果，得到X?3，进而可得P(Y?22)?P(X?3)?1?P(X?4)，即可求出结果. 【详解】

(1)由题意得，X服从二项分布，即X~B(4,0.9)，

因为4个投保人中，活过65岁的人数为X，则没活过65岁的人数为4?X，因此Y?10(4?X)?4X，即Y?40?6X. (2)由Y?22得40?6X?22，所以X?3，

115ln, 381315. 80.344

所以P(Y?22)?P(X?3)?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)?P(X?3)?1?P(X?4)

440=1?C4?0.9?(1?0.9)?0.3439?0.344 .

所以P(Y?22)约为0.344. 【点睛】

本题主要考查二项分布的问题，熟记二项分布的概率计算公式即可，属于常考题型.

21．为了了解甲、乙两校学生自主招生通过情况，从甲校抽取60人，从乙校抽取50人进行分析。