高考数学一轮复习考点25平面向量基本定理及坐标表示必刷题理（含解析）
1、已知向量a＝(3，－4)，b＝(x，y)．若a∥b，则( ) A．3x－4y＝0 C．4x＋3y＝0 【答案】C
【解析】∵a∥b，∴3y＋4x＝0.故选C.
2、已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)．若3a－2b＋c＝0，则c＝( ) A．(－23，－12) C．(7,0) 【答案】A
【解析】由题意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x，12＋y)＝(0,0)，
??23＋x＝0，所以?
?12＋y＝0，?
B．3x＋4y＝0 D．4x－3y＝0
B．(23,12) D．(－7,0)
??x＝－23，
解得?
?y＝－12，?
所以c＝(－23，－12)．
→→→
3、若AC为平行四边形ABCD的一条对角线，AB＝(3,5)，AC＝(2,4)，则AD＝( ) A．(－1，－1) C．(1,1) 【答案】A
→→→→
【解析】由题意可得AD＝BC＝AC－AB＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)． 4、已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(2，m)．若a∥b，则3a＋2b＝( ) A．(7,2) C．(7，－4) 【答案】B
【解析】∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，∴b＝(2，－4)，∴3a＋2b＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)． 5、设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是( ) A．2 C．±2 【答案】B
??4＝mx，【解析】因为a与b方向相反，故可设b＝ma，m<0，则有(4，x)＝m(x,1)，所以?
?x＝m，?
B．(5,9) D．(3,5)
B．(7，－14) D．(7，－8)
B．－2 D．0
解得m＝±2.
又m<0，所以m＝－2，x＝m＝－2.
6、设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首
尾相连能构成四边形，则向量d＝( ) A．(2,6) C．(2，－6) 【答案】D
【解析】设d＝(x，y)，由题意知4a＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b－2c＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6,20)，
B．(－2,6) D．(－2，－6)
2(a－c)＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)．又4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－
6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．
→→→
7、已知平行四边形ABCD中，AD＝(3,7)，AB＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则CO的坐标为( )
?1?A.?－，5? ?2??1?C.?，－5? ?2?
【答案】D
?1?B．?，5?
?2??1?D．?－，－5? ?2?
→→→→→→
1?1??1?【解析】AC＝AB＋AD＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC＝AC＝?，5?.∴CO＝?－，－5?. 2?2??2?
→
π
8、在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝，|OC|
4→→→
＝2.若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ＝( ) A．2 C．2 【答案】A
→→→
π
【解析】因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以点C的坐标为(2，2)．又OC＝λOA＋μOB，所以(2，2)＝
4
2
B．2 D．4
2
λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.
9、已知向量【答案】32 【解析】因为向量，b??cosx,1?，满足a∥b，则 __________．
，b??cosx,1?，a∥b，
，tanx?2，
，故答案为32．
10、若A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)三点共线，则实数a的值为________． 5
【答案】－
4
→→→→
5
【解析】AB＝(a－1,3)，AC＝(－3,4)，由题意知AB∥AC，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－.
4
2?，n??x,4?，若m?n，则2m?n?__________． 11、已知向量m???1，【答案】10
【解析】由题意可得：即m???1,2?，n??8,4?，则据此可知：．
，?x?8，
，
→→→→→
12、在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点．若 PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC＝________. 【答案】(－6,21)
→→→→→→→→
【解析】∵AQ＝PQ－PA＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC＝2AQ＝2(－3,2)＝(－6,4)．又PC＝PA＋AC＝(4,3)→→
＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC＝3PC＝3(－2,7)＝(－6,21)．
→→→→→→
11．(2018青海西宁质检)已知向量AC，AD和AB在正方形网格中的位置如图所示．若AC＝λAB＋μAD，则λμ＝________. 【答案】－3
→→→
【解析】建立如题图所示的平面直角坐标系xAy，则AC＝(2，－2)，AB＝(1,2)，AD＝(1,0)．由题意可知(2，
?2＝λ＋μ，?
－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即?
??－2＝2λ，
解得?
?λ＝－1，?
??μ＝3，
所以λμ＝－3.
13、P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝________.
【答案】{(－13，－23)}
?－1＋m＝1＋2n，?
【解析】集合P中，a＝(－1＋m,1＋2m)，集合Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．则?
??1＋2m＝－2＋3n.??m＝－12，
???n＝－7.
得
此时a＝b＝(－13，－23)．
14、已知点A?4,1?，B?1,5?，则与向量AB方向相同的单位向量为________． 【答案】??,?34?? 55??，AB?5，?与向量AB方向相同的单位向量为??,【解析】?34??． 55??16．已知A?2,3?，点P在线段AB的延长线上，且B?4,?3?，【答案】?8,?15?
，则点P的坐标是____________．
【解析】因为P在AB的延长线上，故AP，PB共线反向，故，设P?x,y?，
则，解得??x?8，P的坐标为?8,?15?，故填?8,?15?．
?y??15→→
2π
15、给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆
3
→→→→
弧AB上运动．若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．
→
【解】以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A的坐标为(1,0)，点
B的坐标为?－，
?1?23??， 2?
??2π??设∠AOC＝α?α∈?0，??，则点C的坐标为(cos α，sin α)，
3????
→→→
由OC＝xOA＋yOB，得
???3sin α＝y，??2
1cos α＝x－y，
2
所以x＝cos α＋
32 3sin α，y＝sin α， 33
π??所以x＋y＝cos α＋3sin α＝2sin?α＋?，
6??π?π5π??2π?又α∈?0，?，则α＋∈?，?.
3?6?6?6?
πππ
所以当α＋＝，即α＝时，x＋y取得最大值2.
62316、已知向量a??1,3?，b??2,?2?， （1）设c?2a?b，求?b?a?c； （2）求向量a在b方向上的投影． 【答案】（1）??16,?16?；（2）?2． 【解析】（1），．
（2）向量a在b方向的投影
．
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