第2课时 线段的垂直平分线的有关作图
1．作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图．(重点)
2．依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴．(重点)
一、情境导入
有时我们感觉两个平面图形成轴对称，如何验证呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？
二、合作探究
探究点一：作线段的垂直平分线
【类型一】 作某条线段的垂直平分线
如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？(注：作一对对
应点的对称轴就是作线段AB的垂直平分线)
解析：本题其实就是作线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的作法作出即可． 1
解：作法：(1)分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于E、F2两点；
(2)作直线EF，EF即为所求的直线．同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．
方法总结：要熟练掌握线段垂直平分线的作法，作出的图形中的作图痕迹要保留．
【类型二】 垂直平分线的作法与垂直平分线的性质的综合 如图，已知点A、点B以及直线l.
(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；
(2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.
解析：(1)利用线段垂直平分线的作法作出即可；(2)利用全等三角形的判定方法以及利用其性质得出即可．
解：(1)如图所示：
AM＝PN，??
(2)在△AMP和△BNP中，∵?PM＝BN，∴△AMP≌△PNB(SSS)，∴∠MAP＝∠NPB.
??AP＝BP，
方法总结：解决此类问题首先要正确作出图形，然后运用相关的知识解决其他问题．
【类型三】 垂直平分线作法的应用 如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个
新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)?
解析：作线段AB的垂直平分线，由垂直平分线的定理可知，垂直平分线上的点到A，B的距离相等．
解：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于O，交AB于E.
∵EO是线段AB的垂直平分线，∴点O到A，B的距离相等，∴这个公共汽车站C应建在O点处，才能使到两个小区的路程一样长．
方法总结：对于作图题首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
【类型四】 线段垂直平分线与角平分线作法的综合运用
如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示
公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解析：到两条公路的距离相等，在这两条公路的夹角的平分线上；到两所大学的距离相等，在这两所大学两个端点的连线的垂直平分线上，所画两条直线的交点即为所求的位置．
解：如图，点P为所求．
方法总结：通过本题要熟练地掌握角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法．
探究点二：对称轴的画法
【类型一】 画出已知图形的对称轴 画出下列轴对称图形的所有对称轴(不考虑颜色)．
解析：利用轴对称图形的性质分别得出其对称轴即可． 解：如图所示：
方法总结：画轴对称图形的对称轴，先找出对称点，然后作对称点的垂直平分线即可．
【类型二】 补全图形，并画出对称轴 如图，在4×3的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你
用两种方法分别在如图方格内填涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形，并画出其对称轴．
解析：根据轴对称的性质画出图形即可． 解：如图所示：
方法总结：解答此类问题，一般要先设计出轴对称图形，然后根据图形的特点，画出对称轴．
三、板书设计
线段的垂直平分线的有关作图
1．线段垂直平分线的作法．
2．作轴对称图形的对称轴的方法．
本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高．
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
1．理解并掌握含30°角的直角三角形的性质定理．(重点)
2．能灵活运用含30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题．(难点)
一、情境导入 问题：
1．我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？ 2．用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？ 今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边角具有什么性质．
二、合作探究
探究点：含30°角的直角三角形的性质
【类型一】 利用含30°角的直角三角形的性质求线段长
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，
则AB的长度是( )
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.
在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.
方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
【类型二】 与角平分线或垂直平分线性质的综合运用
如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于( )
A．3 B．2 C．1.5 D．1
解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋11
∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝PC＝×3＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，
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PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.
方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻
找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
【类型三】 利用含30°角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好
是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
解析：由条件先证△AED≌△BED，得出∠BAD＝∠CAD＝∠B，求得∠B＝30°，即可得到
CD＝DB.
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解：CD＝DB.理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，
2∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝1
∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD2111
＝30°.在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.
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方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如
果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．
【类型四】 利用含30°角的直角三角形解决实际问题 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以
美化环境，已知AC＝50m，AB＝40m，∠BAC＝150°，这种草皮每平方米的售价是a元，求购买这种草皮至少需要多少元？
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线段的垂直平分线的有关作图 公开课大赛(省)优教案 教学设计
