课题：“用代点”法解直线与曲线的相交弦问题
一、教学目标
知识目标：1、“用代点法”解题的步骤；
2、用代点法解中点弦、切点弦、对称点问题及确定参数的范围；
能力目标：通过例题，培养学生发现问题，转化探索，解决问题的能力。 思想目标：掌握对称思想的应用 二、重点：“代点法”解相交弦问题
三、过程：有产直线与圆锥曲线的问题是高考的重要内容，主要考查学生对所学知识的综合运用能力。这节课我们研究直线与曲线的相交弦问题。板书：直线与曲线的相交弦问题，（2）
x2y2??1，以P（-2，1）点为中点的弦所在的直线方程。 让学生举例题1，求椭圆164首先让学生分析题目中的已知条件及结论引导学生得出两种解法，分别让两名学生板书： 解法1、设A（x1y1）B（x2,y2）AB为过P（-2，1）的弦，且P为AB的中点
xy?1?1?1 ① 用①-② 164x2y22??1 ② ?164
22211(x1?x2)(x1?x1)??(y1?y2)(y1?y2)?P不在长轴上下 ?K存在 164K=
y1?y21x1?x211????y?1?(x?2)x1?x24y1?y222即AB的方程为x-2y+4=0
解法2：设弦AB的方程为y-1=k(x+2)
?
y?kx?2k?1x2?4y2?16?(1?4k2)x2?8(2k2?k)x?16k2?16k?12?0
x1?x2?4(2k2?k)1??1??k?代入 利用韦达定理：?2221?4kAB的方程而得y?1?1(x?2)而x?2y?4?0 2让学生分别说出两种解法的思路:解法1是利用曲线和议程的思想及斜率公式及中点坐标公式。解法2是利用韦达定理及中点坐标公式然后比较两种做法。说明用代点法可简化解题过程及减少运算量。然后板书：解法1为“代点法”其理论依据是曲线和方程的思想，此法适用于求曲线的以某点为中点弦的问题。 解完此题，再让学生观察图形：
p(?2,1) 恰为弦AB中点利用数形结合可得AB的方和为
xy??1而?42 1
x?2y?4?0
注意事项：若双曲线的中点弦问题，若点在双曲线外还应验证所求得直线与双曲线段立得方程应满足 △ ＞0
x2y2??1，若对于直线L：y?4x?m，此椭圆上有不同例题2：已知椭圆43的两点关于该直线对称，试求M的取值范围。
首先分析此题中关键的词语中什么？而分析出若AB在椭圆上且AB的垂直平分线为L，抓出垂直：kAB??1抓住中点则中点在L上，让学生讨论并求解，然4后分别让学生口述解法，老师板书：解法1，设A（x1,y1） B（x2,y2）在椭圆上：
x1y?1?1 ① 43x2y?2?1 ② 43用①-②?又kAB?222211(x1?x2)(x1?x2)??(y1?y2)(y1?y2) 432x0y1?y231?? ?? ?3x0?y0
x1?x242y04 ?
?3x0?y0?04x0?y0?m?0x0??my0??3m ?中点m(?m,?3m)
以下解法有二种：
xy解法1?m在椭圆内?y0?y ?0?0?1
43213m29m2??1 ?m?而
1343221y?3m??(x?m)?13x2?26mx?169m2?48?0 解法2， 43x2?4y2??12???0 ?26m??52(169m2?48)?0 ?m?2213 13 1
反思：利用“代点法”可用于求变量的取值范围有两种解法：①中点在形内②判别式＞0 把等式问题转化为不等式问题，从而求出变量的取值范围。 例3， 求抛物线y?x?3x?1上关于直线x?y?0对称的两点的坐标： 分析：若存在两点A、B在此抛物线上且A（x1,y1） B(x2,y2)关于直线x?y?0对称由满足三条 A、 A、
B在抛物线上
B中点在X+Y=0上
2kAB??1
解法1、 用 ①-②
y1?x1?3x1?1y2?x2?3x2?122
? y1?y2?(x1?x2)(x1?x2)?3(x1?x2)?(x1?x2)(x1?x2?3) ? k??1?x1?x2?3 ?x1?x2??1 ?x0??1 y0?1 2中点M（-1，1） AB方和为 y?1?x?1
?x?y?2?oy?x?3x?12 ?A(?3,?1),B(1,3)
解法2：利用对称占的性质：?AB关于y??x对称可设
A(x0,y0)B(?y0,?x0)
AB在抛物线上?
y0?x0?3x0?1?x0?y0?3y0?122 用①-②
?x0?y0?2y0?x0?3x0?12 ?A(1,3)B(?3,?1)
反思：可用“代点法”求对称点的坐标。若所求的对称直线是特殊直线如，可用解法2更简单。
例4，过抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求相交弦AB中点M的轨迹方程。 分析：OB与OA垂直，利用斜率之积为-1 解法1、设A（x1,y1）B（x2,y2）M（x1,y）
1
?y1?2px1y2?2px2222 ??y1y2??4px1x2 又
2y1y2???1 x1x1?y1y2??x1x2 ??y1y2???4p2x1x2 又y1y2?0
2?y1y2??x1x2 用①-②?y1?y2??2y1y2?2p?x1?x2?
2?4y2?8p2?2p?2x? 而y2?p?x?2p? ?p?0?
解法2、设OA、OB方程为y=kx 和y=-1/kx
y?kxy2?2pxx? ?A??2p2p?2,?同理B?2pk,?2pk? 2k??k12p1(2?2pk2)?p(2?k2)2kk? 消去K：y?p(x?2p) 1y?p(?k)k反思：利用代点法可求弦中点的轨迹方程，当然也可以利用引进参数，利用参法求轨迹。 小结：用代点法可解有关中点弦的直线方程，求参数的取值范围，求对称点的坐标及有关革些轨迹问题。用代点法解题，思路清楚条理性强型特点：与中点有关。
作业：练习题1、若直线L：y?1?k(x?1)能垂直平分抛物线的某一条弦，求的范围。（-2＜K＜0）
2、求抛物线y?2px(p?0)的焦点弦的中点轨迹。
22p??y2?p?x??
2??3、已知抛物线C：y?2x?1以及定点A（2，0）
试问是否有存在过A点的直线L，得能右抛物线上找到不同的两点关于直线L对称？如果
存在，求出直线L的斜率的范围；若不存在，请说明理由。（-1＜K＜1且K?0）
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