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第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
[基础
题组练]
1．(2024·山西45校联考)“若a≥2或a≤－2，则a≥4”的否命题是( )
A．若a≤2，则a≤4B．若a≥2，则a≤4C．若－2 D．若a≥2，则a<4 2222 2 解析：选C.将原命题的条件和结论同时否定之后可得否命题，故原命题的否命题为“若－2 a2<4”．故选C. 2．(2024·湖北五校联考)已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平 行于l2”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.由直线l1与直线l2平行得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1 时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1平行于l2”的充要条件，故选C. 3．(2024·南昌摸底调研)已知m，n为两个非零向量，则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 π 解析：选B.设m，n的夹角为θ，若m，n的夹角为钝角，则<θ<π，则cos θ<0，则m·n<0成立； 2当θ＝π时，m·n＝－|m|·|n|<0成立，但m，n的夹角不为钝角．故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角” 的必要不充分条件，故选B. 4．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3. 关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是( ) ①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ 是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题． B．② A．①③ C．②③ D．①②③ 解析：选A.本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题中的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错 精选中小学试题、试卷、教案资料 误，③正确． 5．“(x＋1)(y－2)＝0”是“x＝－1且y＝2”的________条件． 解析：因为(x＋1)(y－2)＝0，所以x＝－1或y＝2，所以(x＋1)(y－2)＝0?/x＝－1且y＝2，x＝－1 且y＝2?(x＋1)(y－2)＝0，所以是必要不充分条件． 2 2 答案：必要不充分 6．对于原命题：“已知a、b、c∈R，若ac＞bc，则a＞b”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题， 2 2 真命题的个数为________． 解析：原命题为真命题，故逆否命题为真； 逆命题：若a＞b，则ac＞bc为假命题，故否命题为假命题，所以真命题的个数为2. 2 答案：2 7．若命题“ax－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知ax－2ax－3≤0恒成立， 2 ??a<0，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得???Δ＝4a2＋12a≤0， 解得－3≤a<0，故－3≤a≤0. 答案：[－3，0] π???ππ?8．已知函数f(x)＝2sin?2x－?(x∈R)．设p：x∈?，?，q：m－3 ?3??42? 件，求实数m的取值范围． π?π2π??ππ?解：因为p：x∈?，??2x－∈?，?， ?4 2? 3?63?所以f(x)∈[1，2]， 又因为p是q的充分条件， ??m－3<1，所以???m＋3>2， 解得－1 [综合题组练] 1．(2024·河北石家庄模拟)下列选项中，说法正确的是( ) A．若a>b>0，则ln a C．命题“角α的终边在第一象限，则α是锐角”的逆否命题为真命题 D．已知函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a， b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题 解析：选D.因为函数y＝ln x(x>0)是增函数，所以若a>b>0，则ln a>ln b，故A错误；若a⊥b，则 m＋m(2m－1)＝0，解得m＝0，故B错误；(特例法)互为逆否的两个命题是等价命题，而角α的终边在第 一象限，角α不一定是锐角，如α＝－315°，该角的终边落在第一象限，但不是锐角，故C错误；命题 精选中小学试题、试卷、教案资料 “若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题“若f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a)·f(b)<0”是假命题，如函数f(x)＝x－2x－3在区间[－2，4]上的图象连续不断，且在 区 间 ( － 2 ， 4 ) 内 有 两 个 零 点 ， 但 2 f(－2)·f(4)>0，故D正确．故选D. 2．(应用型)(2024·陕西西安模拟)若“x>2m－3”是“－1 A．[－3，3] C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) 2 2 B．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．[－1，1] (2m－3，＋∞)，所 2 解析：选D.因为“x>2m－3”是“－1 3．有下列四个命题： ①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题； ③“若m≤1，则x－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题． 其中真命题为________(填写所有真命题的序号)． 2 2 解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A∩B＝B，则B?A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误． 答案：①②③ 2 2 ?4．(应用型)已知集合A＝?x?<2x<8，x∈R?，B＝{x|－1 ?1??2??必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________． ?解析：因为A＝?x?<2x<8，x∈R?＝{x|－1 ?1??2??所以AB，所以m＋1>3，即m>2. 答案：m＞2
课标通用版2024版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系充分条件与必要条件检测文
