知识点总结：一元二次方程
知识框架
一个一元二次方程经过整理化成ax+bx+c=0〔a≠0〕后，其中ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 4.一元二次方程的解法 〔1〕直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(x?a)2?b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，x?a是b的平方根，当b?0时，x?a??b，x??a?b，当b<0时，方程没有实数根。 〔2〕配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式
22
a2?2ab?b2?(a?b)2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x2?2bx?b2?(x?b)2。
配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边
2
配成一个完全平方式；变形为(x+p)=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根． 〔3〕公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
知识点、概念总结
1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数〔一元〕，并且未知数的最高次数是2〔二次〕的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数；
(2)且未知数次数最高次数是2；
(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整
2
式方程，假设是，再对它进行整理。如果能整理为 ax+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
2
〔4〕将方程化为一般形式：ax+bx+c=0时，应满足〔a≠0〕
3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经
2
过整理，?都能化成如下形式ax+bx+c=0〔a≠0〕。
一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的求根公式：
?b?b2?4ac2x?(b?4ac?0)
2a〔4〕因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 5.一元二次方程根的判别式
22根的判别式：一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)中，b?4ac叫做一元二
次方程ax?bx?c?0(a?0)的根的判别式，通常用“?”来表示，即
2??b2?4ac
6.一元二次方程根与系数的关系
2如果方程ax?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1，x2，那么
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x1?x2??cb，x1x2?。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方
aa程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根
之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 7.分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 8.分式方程的一般解法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： 〔1〕去分母，方程两边都乘以最简公分母 〔2〕解所得的整式方程
〔3〕验根：将所得的根代入最简公分母，假设等于零，就是增根，应该舍去；假设不等于零，就是原方程的根。 〔参考教材：初中数学九年级人教版〕
知识点1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 例题：
（1） m为何值时方程为一元一次方程； （2） m为何值时方程为一元二次方程。
知识点二.一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式是：ax2?bx?c?0?a?0?，其中ax是二次项，a2叫二次项系数；bx是一次项，b叫一次项系数，c是常数项。 特别警示：〔1〕“a?0”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；〔2〕二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。 例题：
1、指出以下一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
221、判别以下方程是不是一元二次方程，是的打“√”，不是的打“×”，(2)5x?10x?2.2?0 (3)2x?15?0 并说明理由. 22(4)x?3x?0(x?2)?3 y (5)222(1)2x-x-3=0. (2)-y=0. (3) t=0.
422、关于x的方程3x?2x?6?0中a是 ；b是 ；c1223(4) x-x=1. (5) x-2y-1=0. (6) 2-3=0.
x是 。
知识点三.一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。
4x (9)3x2-+6=0. (10)3x2=-3. 例题：
(7)x2?3x =2. (8)(x+2)(x-2)=(x+1)2.
x41、假设关于x的方程a(x－1)2=2x2－2是一元二次方程，则a的值是 〔 〕
〔A〕2 〔B〕－2 〔C〕0 〔D〕不等于2 2、已知关于x的方程?m?1?x?n?3x?p?0，当 时，方程为一221、已知方程3x?9x?m?0的一个根是1，则m的值是 。 2、设a是一元二次方程x?5x?0的较大根，b是x?3x?2?0较小根，
那么a?b的值是 〔 〕 〔A〕-4 〔B〕-3 〔C〕1 〔D〕2 3、已知关于x的一元二次方程x?kx?2?0 的一个解与方程
2222??次方程；当 时，两根中有一个为零a。 3、已知关于x的方程?m?2?xm2?2?x?m?0：
x?1?3的解x?1学习文档 仅供参考
相同。
（1） 求k的值；
（2） 求方程x?kx?2?0的另一个解。
知识点四.一元二次方程的解法 一元二次方程的四种解法：
（1） 直接开平方法：如果x2?k?k?0?，则x??k （2） 配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系
数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解； （3） 公式法：一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的求根公式是
23、解以下方程：
〔1〕x?3?3?x?1? 〔2〕2x?x?3?0 〔3〕x?2x?3?0
222
〔4〕2?3y2?2?3y 〔5〕
????1?x?1?2?1?x?1? 32
〔6〕(x?3)2??2x?5? (7)3y2?6??y?2???y?2?
222???b?b2?4ac2b?4ac?0?； x??2a（4） 因式分解法：如果?x?a??x?b??0则x1?a,x2?b。
温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频
率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。 例题：解方程：
1、方程x?2x?0的解是： 〔 〕 A.x1?x2?1 B.x1??1,x2?3 C.x1?2,x2?0 D.x1??2,x2?0 2、方程
2
知识点五.一元二次方程根的判别式
22对于一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的根的判别式是b?4ac：
2（1） 当b?4ac?0时，方程有两个不相等的实数根；
2（2） 当b?4ac?0时，方程有两个相等的实数根；
2（3） 当b?4ac?0时，方程无实数根。
2温馨提示：假设方程有实数根，则有b?4ac?0。 例题：
1、已知方程x?3x?k?0有两个不相等的实数根，则k= 。 2、当m满足何条件时，方程mx?2?m?1?x?9m?1?0有两个不相等实根？
22?5?1x2?1?5x的较简便的解法应选
???用 。解为
有两个相等实根？有实根？
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一元二次方程知识点总结和例题——复习-3
