由(6)式可知，c可能大于零，亦可能小于零.若c?0，则(8)总成立，中子速度一定有解，反应一定能发生；若c?0，则由 (6)、(8)两式得
mn?m3He12 mpvp?Q (9)
2mn?m3He?mp即只有当入射质子的动能满足(9)式时，中子速度才有解，反应才能发生，所以入射质子的阈能为
??mpT?1?Q (10) th??mn?m3?mp??He??利用(1)式，在忽略Q项的情况下，(10)式可简化为
2?mp Tth??1??m3?H代入有关数据得
?Q (11) ??? Tth?1.02MeV (12)
3．由动量守恒和能量守恒有
vvvvv n mpvp?m3Hev3He?mnvn (12) m n
vm3Hev3He 11122mpvp?m3Hev2?mnvn?Q (13) 3He222? vmpvp
以?表示反应中产生的中子速度方向与入射质子速度方向的夹角，如图所示，根据余弦定律有 m3Hev3He令
??2??mnvn???mpvp??2mnmpvnvpcos? (14)
2212 (15) mpvp212 Tn?mnvn (16)
212 T3He?m3Hev3He (17)
2 Tp?把(15)、(16)、(17)式代入(13)、(14)两式得
Q?Tp?T3He?Tn （18）
2m3HeT3He?2mnTn?2mpTp?22mnTn?2mpTpcos? （19）
由（18）、（19）式，消去T3He后，得
Tn?2mnmpTpm3He?mncos??Tnm??3He?mpTp?Qm3Hem3He?mn??0 （20）
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令 S?mnmpTpm3He?mnm?cos?，R?3He?mpTp?Qm3Hem3He?mn? （21）
得
Tn?2STn?R?0 （22）
根据题给的入射质子的动能和第1问求得的反应能Q的值，由(21)式可知R?0，故（22）式的符合物理意义的解为
将具体数据代入（21）、（23）式中，有
Tn?0.132MeV (24) (如果得到 Tn?0.131MeV,也是对的.)
第2问的其他解法
解法一
为了研究阈能，只考虑碰撞前后各粒子都沿同一直线运动的情况．若碰撞后2He和中子的速度相同，即粘在一起运动(完全非弹性碰撞)，则在碰撞过程中损失的机械能最多，若所损失的机械能正好等于反应能，则入射质子的动能最小，这最小动能便是阈能. 设质子的入射速度大小为
3vp，反应后2He和中子的速度大小为v，根据动量守恒和能量守恒有
Tn?S?S2?R （23）
3 mpvp?(m3He?mn)v (1) 由（1）、（2）式可得
112mpvp?(m3He?mn)v 2?Q (2) 22mn?m3He12 mpvp?Q (3)
2mn?m3He?mp所以阈能为
Tth??1?利用第1问中的(1)式，并注意到 有
????Q (4) ??mn?m3He?mp?mpQm3Hc2??1
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1 ?mn?m3He?mp2Q?1? ?1??2???mmc??Q33H?H?m3H?1???m3c2??H?1在忽略Q项的情况下，(4)式可简化为
?mpT?1? th??m3?H代入有关数据得
?Q (5) ??? Tth?1.02MeV (6)
第2问8分
(1)、(2)式各3分，(4)式或(5)式1分，(6)式1分． 解法二
在牛顿力学中可以证明，质点系的总动能可以表示为质点系的总质量以质心速度运动的动能即所谓质心动能与各质点相对质心运动的动能之和.若质点系不受外力作用，则质点系的动量守恒，质心速度不变，故质心动能亦恒定不变；如果质点系内部的相互作用导致质点系机械能的变化，则可变化的机械能只能是各质点相对质心运动的动能. 在本题中，如果质子p与氚1H发生反应后，生成的中子n和氦2He相对质心都静止，则质子p与氚1H相对质心运动的动能之和全部转化成反应能，反应后系统的动能只有质心的动能，在这请况下，转化成其他形式能量的机械能最多，入射质子的动能最小，这最小动能便是阈能.所以入射质子的阈能等于系统质心的动能与反应能之和.
333?以v?p和v3H分别表示质子p和氚1H相对质心的速度，有
Q=因系统质心的速度
vc?而
v?p?vp?vc?3112 (1) mpv??m3Hv?32pH22mpvpmp?m3H (2)
m3Hvpmp?m3Hmpvp (3)
v??0?vc??3H由(1)、(3)、(4)式得
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mp?m3H (4)
Q?m3Hmp?m3H12 (5) mpvp2 在牛顿力学中，系统的总质量是恒定不变的，这就导致系统质心的动能在反应前后恒定不变的结论，但在本题中，损失掉的机械能导致系统总质量的变化，使反应前系统的总质量与反应后系统的总质量不相等，即mp?m3H?mn?m3He．如果仍沿用牛顿力学的结论，对一个孤立系统，其质心速度是不会改变的，故反应后质心的动能应为 Ec?而
22mpvpmpQQ1Q21Q v?????c2c22c2?m?m3?2c2mp?m3Hm3HpH111Q222mn?m3Hevc??mp?m3H?vc?vc 222c2??由此可见，在忽略Q的条件下 而入射质子的阀能
Tth?由(2)、(5)、(6)式得
21122 mn?m3Hevc??mp?m3H?vc22??12mp?m3H?vc?Q (6) ?2?Q (7) ????mp Tth??1??m3?H代入有关数据得
Tth?1.02MeV (8)
第2问8分
(1)、(5) 、(6)式各2分， (7)式1分，、(8)式1分. 解法三
考虑反应前后各粒子都沿同一直线运动的情况，若入射质子与与静止的1H发生完全非弹性碰撞，即反应后产生的中子和2He以相同的速度运动，则入射质子的动能就是阈能.以m10表示质子的静止质量，m20表示1H的静止质量，m30表示中子的静止质量，m40表示1He的静止质量，设质子的入射速度大小为vp，反应后2He和中子的速度大小都为v，根据动量守恒和能量守恒有
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33333 m1vp??m30?m40?v (1)
v21?2c m1c?m20c22m30?m40?c2?? (2)
21?vc2式中m1是质子的动质量.由(1)、(2)两式得 v=m1vpm 1?m20把(3)式代入(1)式，经整理得
?m2222221?m20?c?m1vp??m30?m40?c 由
mm101?2 1?vpc2可得
2 m22mv21p1?m10?c2 若入射质子的阈能为Eth，有
m221c?m10c?Eth 由(4)、(6)、(7)式可得
Em30?m22th??40???m10?m20?2m 20利用题给条件并引入反应能，得 Emp?m3H?mn?m3Heth?2mQ 3H或有
Q+2 E?mp?mth?c23H?2mQ?mp?m3HQ 3Hm3H代入有关数据得
Tth?1.02MeV 20 / 21
(3)
(4) (5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
第2问8分
(1)、(2) 、(8)式各2分， (9)或(10)式1分， (11)式1分．
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第28届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答及评分标准
