第28届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答及评分标准
一、参考解答：
解法一
取直角坐标系Oxy，原点O位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为
x2y2??1 （1） a2b2a、b分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S位于椭圆的一个焦点处，如图1所示．
以Te表示地球绕太阳运动的周期，则Te?1.00年；以ae表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则ae?1.00AU，根据开普勒第三定律，有
a3T2 3?2 （2） y
aeTe设c为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得
P c?a?r0 （3）
abOrP S ?P P0xb?a2?c2 （4） 由图1可知，P点的坐标
图1
x?c?rcos? PP （5） y?rPsin?P （6） 把（5）、（6）式代入（1）式化简得
?a根据求根公式可得
22 sin2?P?b2cos2?P?rP?2b2crPcos?P?b2c2?a2b2?0 （7）
b2?a?ccos?P? （8） rP?2222asin?P?bcos?P由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得
rP?0.896AU (9) 可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为 E=?Gmms (10) 2a式中m为彗星的质量．以vP表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有
Gmms12?Gmms?mvP????? （11） ?2r2a?P?1 / 21
得
vP?Gms?代入有关数据得
21? （12） rPa4?1 vP=4.39?10m?s (13) 设P点速度方向与SP0的夹角为?(见图2)，根据开普勒第二定律
rPvPsin????P??2? （14）
其中?为面积速度，并有
yP ??πab （15） TabOrP S 由（9）、（13）、（14）、（15）式并代入有关数据可得
o?P ?P0x ??127 （16）
图2 解法二
取极坐标，极点位于太阳S所在的焦点处，由S引向近日点的射线为极轴，极角为?，取逆时针为正向，用r、?表示彗星的椭圆轨道方程为
r?p （1）
1?ecos?其中，e为椭圆偏心率，p是过焦点的半正焦弦，若椭圆的半长轴为a，根据解析几何可知
p?a?1?e2? （2）
将（2）式代入（1）式可得
a1?e2r? （3）
1?ecos?以Te表示地球绕太阳运动的周期，则Te?1.00年；以ae表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则ae?1.00AU，根据开普勒第三定律，有
??a3T2?2 （4） 3aeTe在近日点??0，由（3）式可得
e?1?r0a （5）
将?P、a、e的数据代入（3）式即得
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rP?0.895AU （6）
可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能 E=?Gmms (7) 2a式中m为彗星的质量．以vP表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有
Gmms12?Gmms? （8） mvP??????2rP?2a?可得
vP?Gms?代入有关数据得
21? （9） rPa4?1 vP=4.39?10m?s (10) 设P点速度方向与极轴的夹角为?，彗星在近日点的速度为v0，再根据角动量守恒定律，有
rPvPsin????P??r0v0 （11）
根据（8）式，同理可得
v0?Gms?由（6）、（10）、(11)、(12)式并代入其它有关数据
??127 (13) 评分标准：
本题20分 解法一
（2）式3分，（8）式4分，（9）式2分，（11）式3分，(13) 式2分,（14）式3分,（15）式1分，（16）式2分．
解法二
（3）式2分，（4）式3分，（5）式2分，（6）式2分，（8）式3分，(10) 式2分,（11）式3分,（12）式1分，（13）式2分．
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o21? （12） r0a二、参考解答：
1．建立如图所示坐标系Oxy.两杆的受力情况如图：
f1为地面作用于杆AB的摩擦力，N1为地面对杆AB的支持力，f2、N2为杆AB作用于杆CD的摩擦力和支持力，N3、N4分别为墙对杆AB和CD的作用力，mg为重力.取杆AB和CD构成的系统为研究对象，系统平衡时, 由平衡条件有
N4?N3?f1?0 （1） N1?2mg?0 （2）
以及对A点的力矩
y D N4 ??B N3 E F N2 mg f2 mg C f1 N1 A x ??O 11??mglsin??mg?lsin??lsin???N3lcos??N4?lcos??lcos??CF??0 22??即
31 mglsin??mglsin??N3lcos??N4?lcos??lcos??CF??0 （3）
22式中CF待求.F是过C的竖直线与过B的水平线的交点，E为BF与CD的交点．由几何关系
有
CF?lsin?cot? （4） 取杆CD为研究对象，由平衡条件有
N4?N2cos??f2sin??0 （5）
N2sin??f2cos??mg?0 （6） 以及对C点的力矩
N4lcos??1 mglsin??0 （7）
2解以上各式可得
N4?1mgtan? （8） 2? ?mg （9）
?1sin?1tan?sin??3N3??tan??tan???2cos?2sin??24 / 21
f1???3tan?sin?1tan?sin???cos?2sin??2? ?mg （10）
? N1?2mg （11）
N2??sin????1?tan?cos??mg （12） 2?1?tan?sin??mg （13） 2? f2??cos??CD杆平衡的必要条件为
??f2??cN2 （14）
由（12）、（13）、（14）式得
tan??AB杆平衡的必要条件为
2??Csin??cos?? （15）
?Ccos??sin? f1??AN1 (16)
由（10）、（11）、（16）式得
tan?sin?2sin? ??4?A?3tan? （17）
sin?cos?因此，使系统平衡，?应满足的条件为（15）式和（17）式．
2．将题给的数据代入（15）式可得
??arctan0.385?21.1 (18) 将题给的数据代入（17）式，经数值计算可得
???19.5? (19)
因此，?的取值范围为
19.5评分标准：
本题20分 第1问15分
（1）、（2）、（3）式共3分，（4）式1分，（5）、（6）、（7）式共3分，(9) 、(10) 式各1分,(12)到（17）式各1分．
第2问5分
（18）式1分，（19）式3分，（20）式1分．
o???21.1o (20)
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