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第２期 张吉军：挂糊层次分析法（ＦＡＨＰ） ｇ（ｘ一 ）＋Ｏ．５：ｇ ）＋Ｏ．５一（ｇ（ ）＋０．５）＋０．５ 即 ｇ（ｘ— ）：ｇ（ ）一ｇ（ ） 又 ｇ ） １２１ ＋ｄ３一＋…＋口２Ｉ—ｌ 一 ｇ（ ）＝ａｌｙ＋ａｊｙ ＋…＋ａ￣－ｌｙ 卜 ｇ（ｘ— ）一 一 ）＋嘞（ 一 ） ＋…＋嘞 ｌ 一 ）弘一 故要使ｇ（ｘ— ） ｇ（ ）一ｇ（ ）对一切 ，Ｙ∈［一ｌ，１］成立，必有 嘞一如 …一 ２ 一１：０ 事实上，因为ｇ（ｘ— ）一占（ ）一占（ ）对一切 ，Ｙ∈［一ｌ＇１］成立，特别地，对Ｙ一 ２ｘ也应成立。此时，有 ｇ（ｘ一 ）：一１２１ｚ—ａａｘ 一…一ａ２ｋ－１￣ 一 ｇ（ ）一ｇ（ ）＝一口１ 一口ａ（２。一１）ｘ 一…一口２卜１（２“一一１） 故一口１ 一口ａ 一…一ａＴＡ－１ 一一口１ —ａａ（２ 一１）ｘ。一…一啦＾一ｌ（２”一一１）ｘ 卜 ， 一１），从而必有 有 对一切ｚ∈［一ｌ，１］成立，再因２ 一１次多项式最多有２ 一１个根知，一 一一ｎ ，一 嘞＝一４３（２ 一１），…，一口２。一１＝一口 ｌ（２ 码一 ５：…一 ２ 一Ｉ一０ 于是有，ｇ（ ）一ｄ１ ，及，（ ）；０．５＋１２１ ③由 一，（ 一ｗｊ）及，（ｚ）＝０．５＋ａｌｘ， ：０．５＋ｑ（ｍ 当 ．一 ＝ｌ时， ：０．５＋口 ，所以 是元素 和 重要程度差异（ｍ— ，）的 度量单位，它的大小直接反映了决策者的意志趋向， 越大表明决策者非常重视元素间重 要程度的差异，ｎ 越小表明决策者不是非常重视元素间重要程度的差异。居于这种分析， 在实际决策分析中可以根据决策者的态度，选择稍大或稍小一点的国。另外，由，（ｚ）是增 函数知，口１＞Ｏｏ再由一ｌ≤ ≤１知， ≤０．５，综上知，０＜口 ≤０．５。 ５模糊层次分析法 模糊层次分析法的步骤和Ａ．Ｌ．Ｓａａｔｙ提出的ＡＨＰ的步骤基本一致，仅有两点不同 （１）在ＡＨＰ中通过元素的两两比较构造判断矩阵｝而在ＡＨＰ中通过元素两两比较 构造模糊一致判断矩阵； （２）由模糊一致矩阵求表示各元素的相对重要性的权重的方法同由判断矩阵求权重 的方法不同。 为此，下面仅介绍如何建立模糊一致判断矩阵， 及由模糊一致判断矩阵求权重的方 法 ５．１模糊一致判断矩阵的建立 模糊一致判断矩阵Ｒ表示针对上一层某元素，本层次与之有关元素之间相对重要性 维普资讯 http://www.cqvip.com
８６ 模糊系缱与数学 ２０００燕 的比较，假定上一层次的元素Ｃ同下一层次中的元素ｎ ，ａ２，…， 有联系，则模糊一致判 断矩阵可表示为： Ｃ ●’１ 一一‘…ａ２ …’………。ａ＿ 。‘ ＿ｎ】 ｒ１ｌ ｒ】：…ｒ】ｑ ｄ２；ｒ ：２１ ｒ２２ ‘‘‘…… 扯 ’‘ 。‘。：…： ：ｒ．ｔ ｒＨ２…ｒ“ 元素 具有如下实际意义： 表示元素嘶和元素口Ｊ相对于元素Ｃ进行比较时，元素ａ． 和元素ａ 具有模糊关系“…比…重要得多”的隶属度 为了使任意两个方案关于某准则 的相对重要程度得到定量描述，可采用如下的０．１—０＿９标度给予数量标度 Ｏ．１～０．９数量标度 标度 Ｏ．５ ０ ６ ０．７ Ｏ．８ ０．９ 定 义 同等重要 稍微重要 明显重要 极端重要 说 明 两元素相比较，同等重要． 两元紊相比较，一元紊比另一元素稍微重要。 两元素相比较．一元素比另一元素明显重要。 两元素相比较，一元素比另一元素极端重要。 重要得多 两元素相比较，一元素比另一元素重要得多． ０．１，Ｏ．２， 反比较 若元素 与元素 相比较得到判断 ，刚元素 Ｏ．３，０．４ 与元素 相比较得到的判断为 １～ｒ ． 有了上面的数字标度之后，元素ａ，，ａ 一， 相对于上一层元素Ｃ进行比较，可得到如 下模糊判断矩阵 ｒｔｔ ２ Ｒ— …１ ：： … ｒ－１ ２ Ｒ具有如下性质： （１） （２） （３） 一０．５，ｉ—ｌ，２，…， ｝ —１— 一ｒｉ＾～ ，ｉ， 一１，２，…， ； ，ｉ， ，ｋ一１，２，…，ｎ． 即Ｒ是模糊一致矩阵。模糊判断矩阵的一致性反映了人们思维判断的一致性，在构造模糊 判断矩阵时非常重要，但在实际决策分析中，由于所研究的问题的复杂性和人们认识上可 能产生的片面性，使构造出的判断矩阵往往不具有一致性。这时可应用模糊一致矩阵的充 要条件进行调整。具体的调整步骤如下： 第一步，确定一个同其余元素的重要性相比较得出的判断有把握的元素，不失一般 性，设决策者认为对判断ｒ】１， ：，…， 比较有把握。 维普资讯 http://www.cqvip.com
第２期 张吉军 模糊层次分析法（ＦＡＩ－ＩＰ） 第二步，用Ｒ的第一行元素减去第二行对应元素，若所得的一个差数为常数，则不需 调整第二行元素。否则，要对第二行元素进行调整，直到第一行元素减第二行的对应元素 之差为常数为止。 第三步，用Ｒ的第一行元素减去第三行的对应元素，若所得的ｎ个差数为常数，则不 需调整第三行的元素。否则，要对第三行的元素进行调整，直到第一行元素减去第三行对 应元素之差为常数为止。 上面步骤如此继续下去直到第一行元素减去第 行对应元素之差为常数为止。 ５．２由模糊一致判断矩阵Ｒ求元素 啦．…， 的权重值 ， ｑ，啦，…，“的权重值分别为 ， ＿．１ ， 设元素ｎ 慨，…，“进行两两重要性比较得到的模糊一致性矩阵为Ｒ＝（ ） ．元素 “， ，则由前面的讨论知，有如下关系式成立． （５） ｒｉｊ一０－５－ｒ－口（ 一 ），ｉ，Ｊ一１，２，…，ｎ 其中，０＜ｎ≤０．５，ｎ是人们对所感知对象的差异程度的一种度量，但同评价对象个数和 差异程度有关，当评价的个数或差异程度较大时，ｎ值可以取得大一点。另外，决策者还可 以通过调整ｎ的大小，求出若干个不同的权重向量，再从中选择一个自己认为比较满意的 权重向量。 当模糊判断矩阵Ｒ不是一致的时候，（５）式中等号不严格成立，这时可采用最小二乘 法求权重向量Ｗ＝［ ， ，…． ，即求解如下的约束规划问题： ｆａｒｉｎ 一∑∑ｒｏ．５＋ａ（ｗｌ一 ，）一 ］ （Ｐ１）ｌ ?一１ 一 ｆ．∑ｗ．一１， ≥０ｔ（１≤ ≤ ） 由拉格朗日乘子法知，约束规划问题（ＰＩ）等价于如下无约束规划问题（Ｐ２）： （Ｐ２）ｍｉｎＬ（ｗ， ）＝∑∑Ｅｏ．５＋ｎ（ 一 ）一ｒＪ］ ＋２ ｆ∑ｍ一１） …１一ｌ ●＝１ 其中， 是Ｌａｇｇｒａｎｇｅ乘子 将Ｌ（ｗ， ）关于ｍ（ｆ＝１，２，…，”）求偏导数，并令其为零，得 个代数方程组成的方程 组（Ｐ３）： （Ｐ３）ａ∑Ｅｏ．５＋ａ（ｗ 一 』）一 ］一口∑［０．５＋ｎ（ — ．一ｔ－ｊ，￣］＋ 一０ ?一１ ｊ。ｌ “一ｌ，２，…， ） 也即是 （Ｐ４）∑［２ｎ （ 一ｗｊ）＋ｎ（ Ｊ ０—１．２，…，ｎ） （注；上式用到 一０．５） 方程组（Ｐ４）含有ｎ＋１未知数 ， ：，…， ， ，”个方程，解此方程组还不能确定唯 一解 又因 ，十 ＋…十 一１，故将此式加到方程组（Ｐ４）中可得到含有ｎ＋１个方程， ＋１个未知量的方程组； 维普资讯 http://www.cqvip.com
８８ 模糊系缱与数学 ２ＯＯＯ年 ２ａｚ 一１）ｗ 一２ｎ ｃ 一２ａ。 ；一…一２ａ。 ＋ 一ｎ∑（ｒ１ 一ｒＪ】） Ｊ＝】 ２口 ＋２ａ 一１）ｗ２—２ｎ ａ一…一２ａ ＋ 一口∑（ｒ 一 ］ ｉ－１ ＿ ２ａ。ｗ 一２ａＺｗ：一２ａ ａ一…＋２ａ —１）ｗ．＋ 一ｎ∑（ｒＩｊ—ｒＪ ） ……………………………………………………………………． …………． １＋ ＋…＋ ＝１ 解此方程组即可求得权重向量ｗ一［ ， ．．１ ］ ． ６结论 模糊层次分析法同普通层次分析法相比具有以下优点： （１）用本文给出的定理２．３或定理２．４检验模糊矩阵是否具有一致性较通过计算判 断矩阵的最大特征根及其对应特征向量检验判断矩阵是否具有一致性更容易； （２）用本文给出的方法调整模糊矩阵的元素可很快使模糊不一致矩阵具有模糊一致 性，克服了普通层次分析法要经过若干次调整、检验、再调整、再检验才能使判断矩阵具有 一致性的缺点； （３）用定理２．３或定理２．４作为检验模糊矩阵是否具有一致性的标准较检验判断矩 阵是否具有一致性的判断标准；ＣＲ＜Ｏ．１更加科学、准确和简便。 参考文献： ［１］许树柏．层次分析法原理［Ｍ］．天津 天津大学出版杜，ｌ ９８８． ［２］姚敏．张森．模糊一致矩阵及其在软科学中的应用［Ｊ］．系统工程．ｉｇｇ７，ｔｓ（ｚ） ［３３张跃，邹寿平．宿芬．模糊数学方法及其应用口］．煤炭工业出版杜，１９９２． Ｆｕｚｚｙ Ａｎａｌ ｙｔｉｃａｌ Ｈｉｅｒａｒｃｈｙ Ｐｒｏｃｅｓｓ ＺＨＡＮＧ Ｊｉ—ｊｕｎ （Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ Ｐｅｔｒｏｌｅｕｍ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｎａｎｃｈｏｎｇ ６３７００ｔ．Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｉｒｓｔｌｙ ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｐｏｉｎｔｅｄ ｏｕｔ ｔｈｅ ｄｅｆｅｃｔｓ ｏｆ ＡＨＰ．Ｔｈｅｎ，ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ，ａｎｄ ｓｔｕｄｉｅｄ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ ｔｈｅ ｒａｔｉｏｎａｌｉｔｙ ｔｏ ｄｅｎｏｔｅ ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｃｏｍｐａｒｉｓｉｏｎ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｂｙ ｆｕｚｚｙ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ，ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｆｕｚｚｙ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｄｅｎｏｔｉｎｇ ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｃｏｍｐａｒｉｓｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｗｅ［ｇｔｈｔ ｄｅｎｏｔｉｎｇ ｔｈｅ ｌｅｖｅｌ ｏｆ ｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔ．Ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ，ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｇａｖｅ ｔｈｅ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ａｎｄ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ａｎａｌｙｔｋａｌ ｈｉｅｒａｒｃｈｙ ｐｒｏｃｅｓｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ＡＨＰ￣Ｆｕｚｚｙ Ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ Ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ Ｍａｔｒｉｘ；ＦＡＨＰ￣Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｄｅｃｉｓｉｏｎ Ｍａｋｉｎｇ
模糊层次分析法(FAHP)
