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模糊层次分析法(FAHP)

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第14卷第2期 模糊系统与数学 Vo1.14,No.2 2000年6月 Fuzzy Systems and Mathematics Jun..2000 文章编号:1001—7402(2000)02—0080.09 o-骝 ’ o/-  ̄l (西南石油学院经挤管理系.四川I南充637001) 摘要:首先通过分析指出层次分析法(AHP)存在的问题.然后给出了a ̄aE2]条件更羁 的模糊一致矩阵的定义t并对新定义的模糊一致矩萍的性质,用模糊一致矩萍表示因素两两 重要性比鞋的合理性以荻表示日素两两重要性比鞋的模糊一致矩萍同表示因素重要程度权 重之间的关未进行了讨论t最后磐出了模糊层戎分析法的原理和步骤。 菱键词t层次分析岳}模糊一致矩阵I模糊层次分析法}决策分析 中图分类号:0159,C ——I _献 、—一 1层次分析法(AHP)存在的问题 层次分析法是美国运筹学家,匹兹堡大学的A.L.Saaty教授于2O世纪70年代提出 的一种定性分析和定量分析相结合的系统分析方法。层次分析法通过明确问题,建立层次 分析结构模型,构造判断矩阵,层次单排序和层次总排序五个步骤计算各层次构成要素对 于总目标的组合权重,从而得出不同可行方案的综合评价值,为选择最优方案提供依据。 AHP的关键环节是建立判断矩阵,判断矩阵是否科学、合理直接影响到AHP的效果,通 过分析,我们发现: (1)检验判断矩阵是否具有一致性非常困难。 检验判断矩阵是否具有一致性需要求判断矩阵的最大特征根L ,看k 是否同判断 矩阵的阶数 相等。若L = ,则具有一致性“ 。当阶数 较大时,精确计算 . 的工作量 非常大。 (2)当判断矩阵不具有一致性时需要调整判断矩阵的元素,使其具有一致性,这不排 除要经过若干次调整、检验、再调整、再检验的过程才能使判断矩阵具有一致性。 (3)检验判断矩阵是否具有一致性的判断标准:CR<O.1缺乏科学依据。 (4)判断矩阵的一致性与人类思维的一致性有显著差异。 为了解决上述问题,我们引进了模糊一致矩阵的概念。为些,下面先介绍模糊一致矩 阵的定义及其性质。 ?收稿日期:1998—11—13}恪订日期}1999—04-15 作者简卉 张吉军(1。63_)?男?四川南充人?酉南石油学院经济管理系副教授,博士,研究方向:现代管理理论与 方法./维普资讯 http://www.cqvip.com

第2期 张吉军:模糊层次分析法(FAHP) 2模糊一致矩阵的定义及其惶质 2.1模糊一致矩阵及其有关概念 定义2.1设矩阵R一(r )…,若满足 : 0≤ ≤1,( 一1.2,…, FJ—l,2,…,n) 则称R是模糊矩阵。 定义2.2若模糊矩阵R一( )…满足” : .+r 一l, —1,2,… ; 一1'2,…, ) 则称模糊矩阵R是模糊互补矩阵 在文献【 :中定义的模糊一致矩阵如下: 定义2.3若模糊互补矩阵R一(r{J)…满足:V ,J? rll一 |.一 4-0?5 则称模糊矩阵R是模糊一致矩阵。 本文定义的模糊一致矩阵不要求模糊矩阵是互补的,因而其条件较文献[2]弱,本文 的定义如下: 定义2.4若模糊矩阵R一( )…满足:V i, , 有 f¨一f 一fA 4-0-5 则称模糊矩阵R是模糊一致矩阵。 2.2模糊一致矩阵的性质 定理2.1设模糊矩阵R一(r ).x 是模糊一致矩阵,则有 (1)Vi( 一1,2,…,n),有 ^ 一0.5 (2)V ,』(f,J 1,2,…,n),有 + —1 (3)R的第i行和第f列元素之和为n; (4) 一 ,且均为模糊一致矩阵,其中∥是R的转置矩阵, 是R的余矩阵; (5)从R中划掉任意一行及其对应列所得的子矩阵仍然是模糊一致矩阵; (6)R满足中分传递性,即 当 ≥0.5时,若 ≥^, ≥ ,则有“≥ ; 当 ≤0.5时,若 ≤ , ≤ ,则有 ≤ - 证明 (1)由R一( )一是模糊一致矩阵知,V ,J, (f, ,k一1,2,…,n),有 r“=r ?一 4-0-5 特别地,当i—J时,也应成立,即有 r 一 一 ÷0.5—0-5 故V f(f一1,2,…,”),有 一0.5成立。 维普资讯 http://www.cqvip.com

模糊系统与数学 2000盘 (2)因为V , , ,有 rij r 一r*+0.5 成立,特别地,当k—i时也应成立,即有 rq—r —r.I+0.5 由(1)知, 一0.5,故有 rq一0?5一r*+0.5 从而, + =1成立。 (3)~(6)的证明见文献[2]。 定理2?2若模糊矩阵R=( )一是模糊互补矩阵,则V i( 一1,2,…,一),有 一 0.5。 证明 因为R一( )一是模糊互补矩阵,故对一切 ( —l,2,…,一),有 +rJ。=l 成立。特别地,当i= 时也应成立,即有. + —l 故对一切i( —l,2,…, ),有 =0.5成立。 定理2?3模糊互补矩阵R=(r ) x。是模糊一致矩阵的充要条件是任意指定两行的 对应元素之差为常数。 证明必要性。对任意指定的第i行和第j行,由模糊一致矩阵的定义知,V 一 一 +0.5 一 l,2,…,n),有 从而,V ,有 r4一r№ r|I一0.5 在上式中,i和 是固定的,只有 是变动的。所以,第f行和第 行对应元素之差为常数。 充分性。对任意指定的第汗 和第J行,设它们对应元素之差为常数n,即V k( =1 2,…, ),有 一rj●一n 成立,特别地,当k— 时也应成立,即有 r¨一T H—a 由(1)式和(2)式,有 rfJ一, —r』.+r』J (3) 再由R一(rfJ)…是模糊互补矩阵及定理2.2知,有rJJ一0.5,故由(3)式,有 r }一r l +0.5 最后,由i和 的任意性及模糊一致矩阵的定义知,模糊互补矩阵R一( )…是模糊 一致矩阵。 维普资讯 http://www.cqvip.com

第2新 张吉军:模糊层次分析法(FAHP) 定理2.4模糊互补矩阵R一( )一是模糊一致矩阵的充要条件是任意指定行和其 余各行对应元素之差为某一个常数。 证明必要性。由定理2.3直接可得。 r¨一 r 一 ni 充分性。若对任意指定的第 行和第 行,对V ( =1,2'..?,n),恒有 r1I—则V ,有 ra—rf.一 ¨一rj,一rlk+ra 一( 1.一 )一( ¨一r ) n?一皿 一即第i行和第J行的对应元素之差为常数( 一 ),再由i和J的任意性知,R的任意指定 两行对应元素之差均为常数,从而由定理2.3知,R是模糊一致矩阵。 3用模糊一致矩阵表示因素问两两重要性比较的合理性解释 在模糊数学中,模糊矩阵是模糊关系的矩阵表示,若论域U一{q ,…, )上的模 糊关系“……比……重要得多”的矩阵表示为模糊矩阵R:( ), 。,则R的元素具有如下 实际意义。 (1)r,j的太小是 比q重要的重要程度的度量,且 越太,西比q就越重要, >0.5 表示 比Ⅱj重要f反之,若 <0.5,则表示 比皿重要。 (2)由余的定义知,1一r,i表示m不比 重要的隶属度,而皿不比 重要,则 比 重要,又固 比 重要的隶属度为 ,故 —1一 ,即R是模糊互补矩阵。特别地,当i J时,有 一0.5,也即元素同自身进行重要性比较时,重要性隶属度为0.5。 —(3)若人们在确定一元素比另一个元素重要的隶属度的过程中具有思维的一致性, 则应有:若 >0.5,即m比 重要,则V ( 一1,2,…,n)有r“>rj.。另一方面,ra一和 是 比 相对重要的一个度量,再加上q自身比较重要性的度量为 ,则可得ai比 绝 对重要的度量r ,即 ;ra—rj,+0—5 也即R一( )…应是模糊一致矩阵。 综上所述,以及模糊一致矩阵的性质知,用模糊一致矩阵R一( ) 表示论域U一 确,…, )上的模糊关系 …比…重要得多 是合理的。 4表示因素间两两重要性比较的模糊一致矩阵 同表示因素重要程度权重之间的关系 设表示元素 ,砚,…, 两两比较重要程度的模糊判断矩阵R为 维普资讯 http://www.cqvip.com

模糊系统与数学 2000妊 元素a…a,…,a 的权重分别为 ,w ,…,∞ ,由 的定义知, 表示元素哦比元素q重 要的隶属度, 越大佩就比q越重要, 一0.5时,表示4和q同等重要。另一方面,由权 重的定义知,Wi是对元素4的重要程度的一种度量,m越大,元素 就越重要 因而, — 的大小在一定程度上也表示了元素 比q重要的程度,且 .一 越大 比a 就越重 要。这样,通过两两比较得到的元素a 比a 重要的重要程度度量 同( 一 )可建立一 定的联系,这种联系我们用函数,表示,即 一,( 一 )。 下面推断函数,应具有的性质: (1)由上面的分析讨论知, 越大,元素a 比 越重要。同样,w 一 越大,元素q比 a.越重要。因此,函数, )应是[一1,1]上的增函数(因为一1≤ (2)为确保模糊判断 和元素4与a 重要程度差异( 断整体的一致性,函数,应是连续的。 ≤1)。 wj)的一致性 及模糊判 (3)由维尔斯特拉斯(Weirstrass)定理知,对于函数,( )∈c[一1,1]及任意s>0, 总存在一个多项式声( ),使得 l, )一户 )ll≤5在[一1,1]上一致成立 因此,在精度允许的范围内,可以假定, )具有多项式形式,即 , )一a0+a1 +az +…十口 (4)由 具有的性质,可 确定,(z)的具体形式如下: ①由 一1— ,有,(z)一f(w.一 )一1 f(w 一毗),令 一"tO 一 ,有, ) 一1 ,(一 ),从而有 ,( )4-,(一 )一1 将, )一a。+alz+a2 q-…+aM 代入上式,并化简得 2口。+2a: +2a‘一+…+2aⅡ 即 一1 (2ao一1)+2a2 +2a‘一+…+2a越 一0 (4) 对一切 ∈[一1,1]成立(这里假定n一2k或2 +1),叉因2 次多项式最多有2 个不 同的根,要使(4)式对一切 ∈[一1,1]成立,必有 2a0—1—2a2=2a4一…一2a“=0 故a。一112,啦一 一?=%;0,即,0)具有如下形式: ,( )一0.5+aI,17+嘞,17。+…+a 一l 卜 简记为 ,( )一0.5 4-g( ) ②由 =r 。+o.5,有 f(w 一W,)一f(w 一 )一f(w 一"60 )+0 5 令 一∞ 一 ,Y= ,有 f(x— )=,( ) ,( )+0.5 再由,( )一0.5+占 )及上式,有 

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