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第１４卷第２期 模糊系统与数学 Ｖｏ１．１４，Ｎｏ．２ ２０００年６月 Ｆｕｚｚｙ Ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｊｕｎ．．２０００ 文章编号：１００１—７４０２（２０００）０２—００８０．０９ ｏ－骝 ’ ｏ／－ ￣ｌ （西南石油学院经挤管理系．四川Ｉ南充６３７００１） 摘要：首先通过分析指出层次分析法（ＡＨＰ）存在的问题．然后给出了ａ￣ａＥ２］条件更羁 的模糊一致矩阵的定义ｔ并对新定义的模糊一致矩萍的性质，用模糊一致矩萍表示因素两两 重要性比鞋的合理性以荻表示日素两两重要性比鞋的模糊一致矩萍同表示因素重要程度权 重之间的关未进行了讨论ｔ最后磐出了模糊层戎分析法的原理和步骤。 菱键词ｔ层次分析岳｝模糊一致矩阵Ｉ模糊层次分析法｝决策分析 中图分类号：０１５９，Ｃ ——Ｉ ＿献 、—一 １层次分析法（ＡＨＰ）存在的问题 层次分析法是美国运筹学家，匹兹堡大学的Ａ．Ｌ．Ｓａａｔｙ教授于２Ｏ世纪７０年代提出 的一种定性分析和定量分析相结合的系统分析方法。层次分析法通过明确问题，建立层次 分析结构模型，构造判断矩阵，层次单排序和层次总排序五个步骤计算各层次构成要素对 于总目标的组合权重，从而得出不同可行方案的综合评价值，为选择最优方案提供依据。 ＡＨＰ的关键环节是建立判断矩阵，判断矩阵是否科学、合理直接影响到ＡＨＰ的效果，通 过分析，我们发现： （１）检验判断矩阵是否具有一致性非常困难。 检验判断矩阵是否具有一致性需要求判断矩阵的最大特征根Ｌ ，看ｋ 是否同判断 矩阵的阶数 相等。若Ｌ ＝ ，则具有一致性“ 。当阶数 较大时，精确计算 ． 的工作量 非常大。 （２）当判断矩阵不具有一致性时需要调整判断矩阵的元素，使其具有一致性，这不排 除要经过若干次调整、检验、再调整、再检验的过程才能使判断矩阵具有一致性。 （３）检验判断矩阵是否具有一致性的判断标准：ＣＲ＜Ｏ．１缺乏科学依据。 （４）判断矩阵的一致性与人类思维的一致性有显著差异。 为了解决上述问题，我们引进了模糊一致矩阵的概念。为些，下面先介绍模糊一致矩 阵的定义及其性质。 ?收稿日期：１９９８—１１—１３｝恪订日期｝１９９９—０４－１５ 作者简卉 张吉军（１。６３＿）?男?四川南充人?酉南石油学院经济管理系副教授，博士，研究方向：现代管理理论与 方法．／维普资讯 http://www.cqvip.com
第２期 张吉军：模糊层次分析法（ＦＡＨＰ） ２模糊一致矩阵的定义及其惶质 ２．１模糊一致矩阵及其有关概念 定义２．１设矩阵Ｒ一（ｒ ）…，若满足 ： ０≤ ≤１，（ 一１．２，…， ＦＪ—ｌ，２，…，ｎ） 则称Ｒ是模糊矩阵。 定义２．２若模糊矩阵Ｒ一（ ）…满足” ： ．＋ｒ 一ｌ， —１，２，… ； 一１＇２，…， ） 则称模糊矩阵Ｒ是模糊互补矩阵 在文献【 ：中定义的模糊一致矩阵如下： 定义２．３若模糊互补矩阵Ｒ一（ｒ｛Ｊ）…满足：Ｖ ，Ｊ? ｒｌｌ一 ｜．一 ４－０?５ 则称模糊矩阵Ｒ是模糊一致矩阵。 本文定义的模糊一致矩阵不要求模糊矩阵是互补的，因而其条件较文献［２］弱，本文 的定义如下： 定义２．４若模糊矩阵Ｒ一（ ）…满足：Ｖ ｉ， ， 有 ｆ¨一ｆ 一ｆＡ ４－０－５ 则称模糊矩阵Ｒ是模糊一致矩阵。 ２．２模糊一致矩阵的性质 定理２．１设模糊矩阵Ｒ一（ｒ ）．ｘ 是模糊一致矩阵，则有 （１）Ｖｉ（ 一１，２，…，ｎ），有 ＾ 一０．５ （２）Ｖ ，』（ｆ，Ｊ １，２，…，ｎ），有 ＋ —１ （３）Ｒ的第ｉ行和第ｆ列元素之和为ｎ； （４） 一 ，且均为模糊一致矩阵，其中∥是Ｒ的转置矩阵， 是Ｒ的余矩阵； （５）从Ｒ中划掉任意一行及其对应列所得的子矩阵仍然是模糊一致矩阵； （６）Ｒ满足中分传递性，即 当 ≥０．５时，若 ≥＾， ≥ ，则有“≥ ； 当 ≤０．５时，若 ≤ ， ≤ ，则有 ≤ － 证明 （１）由Ｒ一（ ）一是模糊一致矩阵知，Ｖ ，Ｊ， （ｆ， ，ｋ一１，２，…，ｎ），有 ｒ“＝ｒ ?一 ４－０－５ 特别地，当ｉ—Ｊ时，也应成立，即有 ｒ 一 一 ÷０．５—０－５ 故Ｖ ｆ（ｆ一１，２，…，”），有 一０．５成立。 维普资讯 http://www.cqvip.com
模糊系统与数学 ２０００盘 （２）因为Ｖ ， ， ，有 ｒｉｊ ｒ 一ｒ＊＋０．５ 成立，特别地，当ｋ—ｉ时也应成立，即有 ｒｑ—ｒ —ｒ．Ｉ＋０．５ 由（１）知， 一０．５，故有 ｒｑ一０?５一ｒ＊＋０．５ 从而， ＋ ＝１成立。 （３）～（６）的证明见文献［２］。 定理２?２若模糊矩阵Ｒ＝（ ）一是模糊互补矩阵，则Ｖ ｉ（ 一１，２，…，一），有 一 ０．５。 证明 因为Ｒ一（ ）一是模糊互补矩阵，故对一切 （ —ｌ，２，…，一），有 ＋ｒＪ。＝ｌ 成立。特别地，当ｉ＝ 时也应成立，即有． ＋ —ｌ 故对一切ｉ（ —ｌ，２，…， ），有 ＝０．５成立。 定理２?３模糊互补矩阵Ｒ＝（ｒ ） ｘ。是模糊一致矩阵的充要条件是任意指定两行的 对应元素之差为常数。 证明必要性。对任意指定的第ｉ行和第ｊ行，由模糊一致矩阵的定义知，Ｖ 一 一 ＋０．５ 一 ｌ，２，…，ｎ），有 从而，Ｖ ，有 ｒ４一ｒ№ ｒ｜Ｉ一０．５ 在上式中，ｉ和 是固定的，只有 是变动的。所以，第ｆ行和第 行对应元素之差为常数。 充分性。对任意指定的第汗 和第Ｊ行，设它们对应元素之差为常数ｎ，即Ｖ ｋ（ ＝１ ２，…， ），有 一ｒｊ●一ｎ 成立，特别地，当ｋ— 时也应成立，即有 ｒ¨一Ｔ Ｈ—ａ 由（１）式和（２）式，有 ｒｆＪ一， —ｒ』．＋ｒ』Ｊ （３） 再由Ｒ一（ｒｆＪ）…是模糊互补矩阵及定理２．２知，有ｒＪＪ一０．５，故由（３）式，有 ｒ ｝一ｒ ｌ ＋０．５ 最后，由ｉ和 的任意性及模糊一致矩阵的定义知，模糊互补矩阵Ｒ一（ ）…是模糊 一致矩阵。 维普资讯 http://www.cqvip.com
第２新 张吉军：模糊层次分析法（ＦＡＨＰ） 定理２．４模糊互补矩阵Ｒ一（ ）一是模糊一致矩阵的充要条件是任意指定行和其 余各行对应元素之差为某一个常数。 证明必要性。由定理２．３直接可得。 ｒ¨一 ｒ 一 ｎｉ 充分性。若对任意指定的第 行和第 行，对Ｖ （ ＝１，２＇．．?，ｎ），恒有 ｒ１Ｉ—则Ｖ ，有 ｒａ—ｒｆ．一 ¨一ｒｊ，一ｒｌｋ＋ｒａ 一（ １．一 ）一（ ¨一ｒ ） ｎ?一皿 一即第ｉ行和第Ｊ行的对应元素之差为常数（ 一 ），再由ｉ和Ｊ的任意性知，Ｒ的任意指定 两行对应元素之差均为常数，从而由定理２．３知，Ｒ是模糊一致矩阵。 ３用模糊一致矩阵表示因素问两两重要性比较的合理性解释 在模糊数学中，模糊矩阵是模糊关系的矩阵表示，若论域Ｕ一｛ｑ ，…， ）上的模 糊关系“……比……重要得多”的矩阵表示为模糊矩阵Ｒ：（ ）， 。，则Ｒ的元素具有如下 实际意义。 （１）ｒ，ｊ的太小是 比ｑ重要的重要程度的度量，且 越太，西比ｑ就越重要， ＞０．５ 表示 比Ⅱｊ重要ｆ反之，若 ＜０．５，则表示 比皿重要。 （２）由余的定义知，１一ｒ，ｉ表示ｍ不比 重要的隶属度，而皿不比 重要，则 比 重要，又固 比 重要的隶属度为 ，故 —１一 ，即Ｒ是模糊互补矩阵。特别地，当ｉ Ｊ时，有 一０．５，也即元素同自身进行重要性比较时，重要性隶属度为０．５。 —（３）若人们在确定一元素比另一个元素重要的隶属度的过程中具有思维的一致性， 则应有：若 ＞０．５，即ｍ比 重要，则Ｖ （ 一１，２，…，ｎ）有ｒ“＞ｒｊ．。另一方面，ｒａ一和 是 比 相对重要的一个度量，再加上ｑ自身比较重要性的度量为 ，则可得ａｉ比 绝 对重要的度量ｒ ，即 ；ｒａ—ｒｊ，＋０—５ 也即Ｒ一（ ）…应是模糊一致矩阵。 综上所述，以及模糊一致矩阵的性质知，用模糊一致矩阵Ｒ一（ ） 表示论域Ｕ一 确，…， ）上的模糊关系 …比…重要得多 是合理的。 ４表示因素间两两重要性比较的模糊一致矩阵 同表示因素重要程度权重之间的关系 设表示元素 ，砚，…， 两两比较重要程度的模糊判断矩阵Ｒ为 维普资讯 http://www.cqvip.com
模糊系统与数学 ２０００妊 元素ａ…ａ，…，ａ 的权重分别为 ，ｗ ，…，∞ ，由 的定义知， 表示元素哦比元素ｑ重 要的隶属度， 越大佩就比ｑ越重要， 一０．５时，表示４和ｑ同等重要。另一方面，由权 重的定义知，Ｗｉ是对元素４的重要程度的一种度量，ｍ越大，元素 就越重要 因而， — 的大小在一定程度上也表示了元素 比ｑ重要的程度，且 ．一 越大 比ａ 就越重 要。这样，通过两两比较得到的元素ａ 比ａ 重要的重要程度度量 同（ 一 ）可建立一 定的联系，这种联系我们用函数，表示，即 一，（ 一 ）。 下面推断函数，应具有的性质： （１）由上面的分析讨论知， 越大，元素ａ 比 越重要。同样，ｗ 一 越大，元素ｑ比 ａ．越重要。因此，函数， ）应是［一１，１］上的增函数（因为一１≤ （２）为确保模糊判断 和元素４与ａ 重要程度差异（ 断整体的一致性，函数，应是连续的。 ≤１）。 ｗｊ）的一致性 及模糊判 （３）由维尔斯特拉斯（Ｗｅｉｒｓｔｒａｓｓ）定理知，对于函数，（ ）∈ｃ［一１，１］及任意ｓ＞０， 总存在一个多项式声（ ），使得 ｌ， ）一户 ）ｌｌ≤５在［一１，１］上一致成立 因此，在精度允许的范围内，可以假定， ）具有多项式形式，即 ， ）一ａ０＋ａ１ ＋ａｚ ＋…十口 （４）由 具有的性质，可 确定，（ｚ）的具体形式如下： ①由 一１— ，有，（ｚ）一ｆ（ｗ．一 ）一１ ｆ（ｗ 一毗），令 一＂ｔＯ 一 ，有， ） 一１ ，（一 ），从而有 ，（ ）４－，（一 ）一１ 将， ）一ａ。＋ａｌｚ＋ａ２ ｑ－…＋ａＭ 代入上式，并化简得 ２口。＋２ａ： ＋２ａ‘一＋…＋２ａⅡ 即 一１ （２ａｏ一１）＋２ａ２ ＋２ａ‘一＋…＋２ａ越 一０ （４） 对一切 ∈［一１，１］成立（这里假定ｎ一２ｋ或２ ＋１），叉因２ 次多项式最多有２ 个不 同的根，要使（４）式对一切 ∈［一１，１］成立，必有 ２ａ０—１—２ａ２＝２ａ４一…一２ａ“＝０ 故ａ。一１１２，啦一 一?＝％；０，即，０）具有如下形式： ，（ ）一０．５＋ａＩ，１７＋嘞，１７。＋…＋ａ 一ｌ 卜 简记为 ，（ ）一０．５ ４－ｇ（ ） ②由 ＝ｒ 。＋ｏ．５，有 ｆ（ｗ 一Ｗ，）一ｆ（ｗ 一 ）一ｆ（ｗ 一＂６０ ）＋０ ５ 令 一∞ 一 ，Ｙ＝ ，有 ｆ（ｘ— ）＝，（ ） ，（ ）＋０．５ 再由，（ ）一０．５＋占 ）及上式，有
模糊层次分析法(FAHP)
