解：（1）商品的边际效用为MU??U?U?0.5q?0.5，货币的边际效用为???3 ?q?M0.5q?0.5MU?3，整理得消费者的需求函数为??可得：由实现消费者均衡条件
pp1q?。 236p1?0.51p?q （2）根据需求函数q?，可得反需求函数
36p26（3）消费者剩余CS??401?0.511qdq?pq?q263 ?041211??? 3333
5. 设某消费者的效用函数为柯布—道格拉斯类型的，即U?x?y?，商品x和商品y的价格分别为Px和Py，消费者的收入为M，?和?为常数，且????1。
（1）求该消费者关于商品x和商品y的需求函数。
（2）证明当商品x和商品y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，消费者对两商品的需求量维持不变。
（3）证明消费者效用函数中的参数?和?分别为商品x和商品y的消费支出占消费者收入的份额。
?U??x??1y??x解：（1）由消费者的效用函数U?x?y?，解得：
?UMUy???x?y??1?y消费者的预算约束方程为PXx?Pyy?M
MUx??MUxPX?MUy?P根据消费者效用最大化的均衡条件?，代入已知条件，解方程组得消费y?Px?Py?My?x者关于商品x和商品y的需求函数分别为：
x=?MaM , y=
PyPX（2）商品x和商品y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例，相当于消费者的
预算线变为?Pxx??Pyy??M，其中?为一非零常数。
?MUxPX?MUy?P此时消费者效用最大化的均衡条件为?，由于??0，故该方程组化y??Px??Py??My?x?MUxPX?MUy?P为?，显然，当商品x和商品y的价格以及消费者的收入同时变动一个y?Px?Py?My?x比例时，消费者对两商品的需求关系维持不变。
PyyPxx（3）由消费者的需求函数可得：??，式中参数?为商品x的消费支，??MM出占消费者收入的份额和参数?为商品y的消费支出占消费者收入的份额。
6.假定肉肠和面包卷是完全互补品。人们通常以一根肉肠和一个面包卷为比率做一 个热狗,并且已知一根肉肠的价格等于一个面包卷的价格。
(1)求肉肠的需求的价格弹性。
(2)求面包卷对肉肠价格的需求的交叉弹性。
(3)如果肉肠的价格是面包卷的价格的两倍,那么,肉肠的需求的价格弹性和面包卷 对肉肠价格的需求的交叉弹性各是多少
解：（1）令肉肠的需求为X，面包卷的需求为Y，相应的价格为Px、PY ，且有Px=PY 该题目的效用论最大化问题可以写为： maxU(X，Y)=min(X，Y)
MMM?1==PX
PX?PY2PX2PXdXPXM 由此可得肉肠的需求的价格弹性为： edx=-???（??PX?2?）?1
M?1dPXX2PX2dYPXPXM (2)面包对肉肠的需求交叉弹性为：exy=???（??PX?2?）?1
M?1dXY2PX2 解上述方程有：X=Y=
(3) maxU(X，Y)=min(X，Y)
M2M2M?1==PX
PX?PY3PX3PX2M可得肉肠的需求价格弹性为：edx=?（??PX?2?）?1
2M3PX?13?YPXPX2M???面包对肉肠的需求交叉弹性为：eyx=（??PX?2?）?1
2M?PXY3PX?13 如果Px=2PY,X=Y, 解上述方程有：X=Y=
7.已知某消费者的效用函数为U＝X1X2，两商品的价格分别为P1＝4，P2＝2，消费者的收入是M＝80。现在假定商品1的价格下降为P1＝2。求：
(1)由商品1的价格P1下降所导致的总效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化
(2)由商品1的价格P1下降所导致的替代效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化
(3)由商品1的价格P1下降所导致的收入效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化
解答：利用图解答此题。在图3-6中，当P1＝4，P2＝2时，消费者的预算线为AB，效用最大化的均衡点为a。当P1＝2，P2＝2时，消费者的预算线为AB′，效用最大化的均衡点为b。
图3—6
?MU1MU2??P2（1）先考虑均衡点a。根据效用最大化的均衡条件?P1?PX?PX?M?1122?X2X1??得：?42??4X1?2X2?80 解得: X2＝20 ,X1＝10
最优效用水平为 U1＝X1X2＝10×20＝200
再考虑均衡点b。当商品1的价格下降为P1＝2时，与上面同理，根据效用最大化
?X2X1??的均衡条件得：?22??2X1?2X2?80解得: X2=X1＝20
从a点到b点商品1的数量变化为ΔX1＝20－10＝10，这就是P1变化引起的商品1消费量变化的总效应。
(2)为了分析替代效应，作一条平行于预算线AB′且相切于无差异曲线U1的补偿预算线FG，切点为c点。
在均衡点c，总效用保持不变，同时满足边际效用均等法则，X1，X2满足
?MU1MU2??P2?P1?TU?XX?200?12
?X1X2?? 即 ?2 2??TU?X1X2?200解得X1＝X2。将X1＝X2代入效用约束等式U1＝X1X2＝200，解得X1＝X2＝1014，
从a点到c点的商品1的数量变化为ΔX1＝10－104，这就是P1变化引起的商品1消费量变化的替代效应。
(3)至此可得，从c点到b点的商品1的数量变化为ΔX1＝20－106，这就是P1变化引起的商品1消费量变化的收入效应。
8. 某消费者消费两种商品 X 和Y, 假定无差异曲线在各点的斜率的绝对值均为品的数量。
y，x、y 为两商x
(1)说明每一种商品的需求数量均不取决于另一种商品的价格。 (2)证明每一种商品的需求的价格弹性均等于1。 (3)证明每一种商品的需求的收入弹性均等于1。 (4)每一种商品的恩格尔曲线的形状如何
解答：（1）根据题意可得，该消费者在效用最大化均衡点满足无差异曲线的
pxpxyp斜率等于预算线斜率，预算线斜率绝对值等于 ，所以可得： =x。整理得：y=x。
pypyxpy把y=把x=
pxMx代入预算约束等式xPx＋yPy=M，解得x= py2PXMM代入预算约束等式xPx＋yPy=M，得y=
2Py2PX由此可见，X商品的需求教量与Y商品的价档Py无关，Y商品的需求
数量与x商品的价格Px无关
（2）X商品和Y商品的需求的价格弹性分别为
PXdXPXM edx=-???（?）?1 dPXX2PX?2M2PXdYPYPYM???exy=（?）?1 dPYY2PY?2M2PY所以，每一种雨品的需求的价格弹性均等于1 3）X商品和y商品的收入弹性分别为
dXM1MEmx=-??g?1 dMX2PXM2PXEmy=
dYPY1M????1 dPYY2PYM2PY所以，每一种品的需求的收入弹性均等于1。
M（4）由X商品的需求函数X=求x商品的恩格尔曲线的斜率为
2PXdx1?。 dM2PXM由Y商品的需求函数Y=求Y商品的恩格尔曲线的斜率为
2PYdY1?。 dM2PY所以，两商品的恩格尔曲线的斜率均为正的常数。而且，当收入为零时，两商品的需求数量均为零，由此可见，X和Y商品的恩格尔曲线均为一条从原点出发且斜率为正的直线。
三、论述题
1. 根据基数效用论者关于消费者均衡的条件:
(1)如果
MU1MU2? ,消费者应该如何调整两种商品的消费数量 为什么 PP12P
P
(2)如果
的消费数量进行调整 为什么
MUi??，其中常数?表示不变的货币的边际效用，消费者应该如何对该种商品iPiMU1MU2?，消费者没实现均衡，须重新调整其购买组合，原则是增PP21MU1MU2f，则理性消费者应增加商品1的购买，同时PP21答：(1) 若
加单位货币获得边际效用较大的商品购买和消费，同减少单位货币获得边际效用较小的商品购买，例如
减少商品2的购买量，原因是一方面，增加一元钱商品1的购买使总效用增加量
大于减少一元钱商品2的购买使总效用的减少量，保证消费者在总支出不变的条件下总效用是增加的。另一方面，在边际效用递减规律的作用下，商品1的边际效用会随其购买量增加而递减，商品2的边际效用会随其购买量减少而递增，这
MU1MU2和最终会相等，即最后一单位货币购买两种商品的边际效用相等时，
P2P1MU1MU2p总效用最大，消费者实现均衡。当时，则理性消费者应增加商品2PP12的购买，同时减少商品1的购买量。
样
高鸿业微观经济学业第七版课后答案18第三章消费者选择
