[基础达标]
1.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是________．(填序号) ①任意一个有理数，它的平方是有理数； ②任意一个无理数，它的平方不是有理数； ③存在一个有理数，它的平方是有理数； ④存在一个无理数，它的平方不是有理数．
解析：“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．
答案：②
2.命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________． 解析：全称命题的否定是存在性命题． 答案：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
3.已知命题p：?n∈N，2n>1 000，则﹃p为________．
n解析：由于存在性命题的否定是全称命题，因而﹃p为?n∈N，2≤1 000.
n答案：?n∈N，2≤1 000
2
4.已知命题：“?x∈[1，2]，使x＋2x＋a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．
22
解析：由已知得，?x∈[1，2]，使a≥－x－2x成立；若记f(x)＝－x－2x(1≤x≤2)，
2
则a≥f(x)min；而结合二次函数f(x)＝－x－2x(1≤x≤2)的图象得f(x)的最小值为f(2)＝2
－2－2×2＝－8，所以a≥－8.
答案：a≥－8
5.不等式x2－x>x－a对?x∈R都成立，则a的取值范围是________．
22
解析：法一：不等式x－x>x－a对?x∈R都成立，即不等式x－2x＋a>0恒成立； 结合二次函数图象得其Δ<0，即4－4a<0，所以a>1.
22
法二：不等式x－x>x－a对?x∈R都成立，也可看作a>－x＋2x对?x∈R都成立，所
2
0－222
以a>(－x＋2x)max；而二次函数f(x)＝－x＋2x的最大值为＝1，所以a>1.
4×（－1）
答案：a>1
6.下列命题的否定为假命题的是________．
2
①?x∈R，－x＋x－1<0； ②?x∈R，|x|>x；
③?x，y∈Z，2x－5y≠12；
2
④?x∈R，sinx＋sin x＋1＝0.
解析：命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题． 答案：①
7.下列命题中的真命题的个数是________．
3
①?x∈R，使得sin x＋cos x＝；
2
xx②?x∈(－∞，0)，2<3； ③?x∈(0，π)，sin x>cos x.
ππxx解析：∵?x∈R，sinx＋cos x≤2；?x∈(－∞，0)，2>3；sin＝cos，所以①②③
44
都是假命题．
答案：0
8.已知命题p：?x∈R，使tan x＝1，命题q：?x∈R，x2＞0.下面结论正确的是________． ①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧﹃q”是假命题；
③命题“﹃p∨q”是真命题；④命题“﹃p∧﹃q”是假命题．
π2
解析：容易知命题p是真命题，如x＝，则﹃p是假命题；因为当x＝0时，x＝0，
4
所以命题q是假命题，则﹃q是真命题．所以“p∧q”是假命题，①错误；“p∧﹃q”是真命题，②错误；“﹃p∨q”是假命题，③错误；“﹃p∧﹃q”是假命题，④正确．
答案：④
9.判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定：
2
(1)p：对任意的x∈R，x＋x＋1＝0都成立；
2
(2)p：?x∈R，x＋2x＋5>0.
解：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的
2
否定为“存在一个”，因此，﹃p：存在一个x∈R，使x＋x＋1≠0成立，即“?x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”；
(2)由于“?x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，﹃p：对任意一个x都
22
有x＋2x＋5≤0，即“?x∈R，x＋2x＋5≤0”．
10.已知命题p：对m∈[－1，1]，不等式a2－5a－3≥m2＋8恒成立；命题q：不等式x2＋ax＋2<0有解；若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围．
2
解：∵m∈[－1，1]，∴m＋8∈[22，3]．
222
因为对m∈[－1，1]，不等式a－5a－3≥ m＋8恒成立，可得a－5a－3≥3. ∴a≥6或a≤－1.
故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.
2
又命题q：不等式x＋ax＋2<0有解，
2
∴Δ＝a－8>0.
∴a>22或a<－22；
从而命题q为假命题时，－22≤a≤22；
所以命题p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为－22≤a≤－1.
[能力提升]
1
1.已知：对?x>0，a≤x＋恒成立，则a的取值范围为________．
x11?1?解析：?x>0，x＋≥2(当且仅当x＝时等号成立)，?x＋?xx?x?min
＝2；
1
而对?x>0，a≤x＋恒成立，所以a≤2.
x答案：a≤2
2.已知命题p：?x∈R，ax2＋2x＋3>0，如果命题﹃p是真命题，那么实数a的取值范围是________．
解析：因为命题﹃p是真命题，所以命题p是假命题，而当命题p是真命题时，就是不
??a>012
等式ax＋2x＋3>0对一切x∈R恒成立，这时就有?，解得a>，因此当命题p3??Δ＝4－12a<0
1
是假命题，即命题﹃p是真命题时，实数a的取值范围是a≤.
3
1
答案：a≤
3
1
3.已知p：|3x－4|>2，q：2>0，求﹃p和﹃q对应的x的值的集合．
x－x－2
解：设命题p中的元素组成的集合为M，那么对命题p的否定﹃p组成的集合就是M的补集．
?2?22
??； x|≤x≤2由p：|3x－4|>2，得p：x<或x>2，所以﹃p：≤x≤2，即﹃p：
33?3?
1
>0，得q：x<－1或x>2，
x2－x－2
所以﹃q：－1≤x≤2，即﹃q：{x|－1≤x≤2}．
4.(创新题)判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
2
解：原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x＋(2a＋1)x2
＋a＋2≤0的解集为空集．
判断真假如下：
22
抛物线y＝x＋(2a＋1)x＋a＋2的图象开口向上，
22
判别式Δ＝(2a＋1)－4(a＋2)＝4a－7. 因为a<1，所以4a－7<0.
222
即抛物线y＝x＋(2a＋1)x＋a＋2与x轴无交点．所以关于x的不等式x＋(2a＋1)x2
＋a＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真．
由q：
2018_2019学年高中数学第1章常用逻辑用语1-3全称量词与存在量词作业苏教版选修2_1
