2019-2020 年中考数学一轮复习垂径定理在解题中的应用教学资料
垂径定理是圆的重要内容， 在实际生活中有着广泛的应用 . 在各地中考题中对垂径定理的考查频频出现，这类问题常常结合勾股定理来解决，现以中考题为例说明如下：
一、求半径
例 1. 高速公路的隧道和桥梁最多．图
1 是一个隧道的横截面，若它的形状是以
） O为圆
心的圆的一部分，路面
（ A） 5
（ B）7
AB =10 米，净高 CD =7 米，则此圆的半径 OA=（
（ C）
37
（ D）
37
5
7
C
O
A
D 图 1
析解 ：由垂径定理可知△ AOD是直角三角形，解决本题关键是根据勾股定理列出方程 设半径 OA=x米，则 OD=CD－ OC=7－ x（米） . 因为 OD⊥ AB, 所以 AD=
B
1
. Rt
=
（米）AB .
在
△
2
AOD中，因为 AD 2 OD 2 OA2 ，所以 52 (7 x)2
x2 ，解这个方程得： x 37 . 故应
7
选（ D） .
二、求弦长
例 2. 工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是
端离零件表面的距离为
8mm，如图 2 所示，则这个小孔的直径
10mm，测得钢珠顶
AB ＿＿＿＿ mm．
D
8mm B
A
O C
A
B
图 2
图 3
析解 ：要求小孔的直径 决. 如图 3，设圆心为
1 OA=OD
AB ，关键是根据垂径定理构造直角三角形，
, 过点
作 ⊥ , 交劣弧于 ，
利用勾股定理来解 为垂足，则
2
2
2
，连接 ，
O
，
OA
－ O
OC AB
中，
D C
2
AC=CB
，所
，在 △
10 5 mm OC=8 5=3mm Rt AOC 2
以 AB=2AC=2×4=8(mm).
三、求弦心距
AC= OA OC
5
3 4
O
例 3. 如图 4，
AB 8 OC AB
，
C OC
的长等于
． 的半径为 5，弦 于 ，则
O
A
C
图 4
B
析解 ：连接 OA, 因为 OC
AB 于 C ，所以由垂径定理可得 AC= AB 8 4 . 在 Rt
2 2 OA2 AC 2
1 1
△AOC中，由勾股定理可得 OC= 四、求拱高
52 42
3.
例 4. 兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图
5 所示，已知 AB=16m，半径 OA=10m，
高度 CD为 _____m．
C
A
D
O
图 5
B
析 解 ： 由 垂 径 定 理 可 得 AD= AB
2
11
16 8 . 在
Rt △ AOC 中 ，
2
2
2
2
2
=
OD OA AD
五、求角度
10 8 6 , 所以 CD=OC－OD=10－ 6=4(m).
例 5. 如图 6，在⊙ O中， AB为⊙ O的直径，弦 CD⊥AB，∠ AOC=60o，则∠ B= ．
D
A
O
B
C
图 6
析解 ：因为 CD⊥ AB，AB为直径，所以由垂径定理可知 AD
AC ，利用“在同圆或等圆
中 ， 同 弧 或 等 弧 所 对 的 圆 周 角 等 于 它 所 对 的 圆 心 角 的 一 半 ” 定 理 可 得 ：
∠ = B
1 2
1 2
AOC = 60 30 .
六、探究线段的最小值
例 6. 如图 7，⊙
的半径 =10cm，弦 =16cm， 为 上一动点，则点 到圆心 的
O
OA AB P AB P 最短距离为
cm
． O
A
C P B
图 7
析解 ：因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，所以需作出弦
1
16 8 . 在 Rt △AOC中，由
AB的弦心距 . 过点 O作 OC⊥ AB,
C 为垂足，则 AC=1
AB
勾
2
2
股定理可得 OC=
OA
2
AC
2
10
2
2
8 6.
6cm
故点
P到圆心 O的最短距离为． O
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