. .
17. 在x岁投保的一年期两全保险,在个体(x)死亡的保单年度末给付b元,生存保险金为e元。保险人给付额现值记为Z, 则Var(Z)=( )
A. pxqxv2?b?e? B. pxqxv2?b?e? C. pxqxv2b2?e2 D. v2b2qx?e2px 解:
22????P(Z?bv)?qx,P(Z?ev)?pxP(Z2?b2v2)?qx,P(Z2?e2v2)?pxE(Z)?bvqx?evpxE(Z2)?b2v2qx?e2v2pxVar(Z)?E(Z2)??E(Z)??b2v2qx?e2v2px??bvqx?evpx??v2qxpx(b?e)222
第五章:年金的精算现值
练 习 题
1. 设随机变量T=T(x)的概率密度函数为f(t)?0.015?e算现值 ax 。
?0.015t(t≥0),利息强度为δ=0.05 。试计算精
ax????1?vt0?fT(t)dt??2??01?e?0.05t0.015?e?0.015tdt?15.38 0.05(1)?;(2)ā???50。试求:
x 2.设 ax?10, ax?7.375, VaraT 。
??1??a?Axx??1?10??Ax2??221?2?a?A?x??1?14.75??Axx??1212?VaraT?2(Ax?(Ax))?50?2(2Ax?(Ax)2)
???????0.035???Ax?0.65?2?Ax?0.48375??
3. 某人现年50岁,以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金,试求其每年所得年金额。
a
. .
4. 某人现年23岁,约定于36年内每年年初缴付2 000元给某人寿保险公司,如中途死亡,即行停止,所缴付款额也不退还。而当此人活到60岁时,人寿保险公司便开始给付第一次年金,直至死亡为止。试求此人每次所获得的年金额。 解:2000a23:36?R37|a23?R?其中
2000a23:3637|a23
a23:36l23?k135k??vkp23??v??vl23?kll23k?0k?0k?023kk3535 ? ?37|1111(l23?l24?l?l?225326l231.06(1.06)(1.06)N23?N59D2337?1l)3558(1.06)a23?a23?a23:37?v3737p23a60?82k82kE23a60k?37
23?kl1 ??vkp23??v23?k?l23l23k?37k?37 ? ??vlk821111(l60?l60?l?l63?62l231.06(1.06)2(1.06)3N60D23?1l105)(1.06)55查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
习题5将参考课本P87例5.4.1现年35岁的人购买如下生存年金,且均于每月初给付,每次给付1000元,设年利率i=6%,求下列年金的精算现值。
(1) 终身生存年金。
(12)1000*12a35?12000[?(12)a35??(12)]
其中
d?i?0.0566037741?i12?i(12)?(12)1??1?i?i?0.058410606??12???d(12)?(12)?1???1?d?d?0.05812766712??idi?i(12)?(12)?(12)(12)?1.000281033,?(12)?(12)(12)?0.46811975idida
12 . .
l35?k171ka35??vkp35??v??vl23?kl35l23k?0k?0k?0kk7171 ? ?1111(l35?l36?l?l38?37l351.06(1.06)2(1.06)3N35D35?1l105)
(1.06)70若查90-93年生命表换算表则
a35?N351985692??15.695458 D35126513.8
5. 某人现年55岁,在人寿保险公司购有终身生存年金,每月末给付年金额250元,试在UDD假设和利率6%下,计算其精算现值。
(12)(12)解:250*12a55?250*12(a55?1)?250*12[?(12)a55??(12)?1] 1212其中
d?i?0.0566037741?i12?i(12)?(12)?1???1?i?i?0.05841060612???d(12)?(12)1??1?d?d?0.058127667??12??idi?i(12)?(12)?(12)(12)?1.000281033,?(12)?(12)(12)?0.46811975idid12l35?k171ka55??vkp55??v??vl23?kll23k?0k?0k?035kk7171 ? ?
1111(l35?l36?l?l?237338l351.06(1.06)(1.06)N35D35?1l) 70105(1.06)
6. 在UDD假设下,试证: (1)
n|ax(m)??(m)n|ax???m?nEx 。
(2) ax:n??(m)ax:n???m?(1?nEx) 。
(m) (3)ax:n?ax:n?a
(m)(m)1(1?nEx) 。 m . .
7. 试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值,且给付方法为:(1)按年;(2)按半年;(3)按季;(4)按月。
(1)解:1200a30?N31 D30(2)(2)(2)1000a30?1000(a30?1)?1000[?(2)a35??(2)?1]
22其中
d?i?0.0566037741?i2?i(2)?(2)?1???1?i?i?0.0591260282???d(2)?(12)?1???1?d?d?0.057428276
2??id?(2)?(2)(2)?1.000212217idi?i(2)?(2)?(2)(2)?0.257390809id2a30?
N30 D30(4)(4)(3)1000a30?1000(a30?1)?1000[?(4)a30??(4)?1]
44其中
d?i?0.0566037741?i4?i(4)?(4)1??1?i?i?0.058695385??4???d(4)?(4)?1???1?d?d?0.057846554
4??id?(4)?(4)(4)?1.000265271idi?i(4)?(4)?(4)(4)?0.384238536id4a30?N30 D30(12)(12)(4)1000a30?1000(a30?1)?1000[?(12)a30??(12)?1] 1212其中
a
. .
d?i?0.0566037741?i12?i(12)?(12)?1???1?i?i?0.05841060612???d?(12)?1???1?d?d?0.05812766712??idi?i(12)?(12)?(12)(12)?1.000281033,?(12)?(12)(12)?0.46811975idid(12)12
a30?N30 D30
8. 试证: (1) (2)
(m)ax?(m)ax?:n?i(m)ax ax:n 。
?i(m) (3) limaxm??(m)?ax 。
(4) ax?ax?1 。 2 9. 很多年龄为23岁的人共同筹集基金,并约定在每年的年初生存者缴纳R元于此项基金,缴付到64岁为止。 到65岁时,生存者将基金均分,使所得金额可购买期初付终身生存年金,每年领取的金额为3 600元。试求数额R。
10. Y是x岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量,已知 ax?10,
2ax?6,i?1 ,求Y的方差。 24 11. 某人将期末延期终身生存年金1万元遗留给其子,约定延期10年,其子现年30岁,求此年金的精算现值。
10|a30??vk?1175kkkp30??vk?1175l30?kl30?1l105)
(1.06)75 ? ?1111(l?l?l43?4142l30(1.06)11(1.06)12(1.06)13N41D30 12. 某人现年35岁,购买一份即付定期年金,连续给付的年金分别为10元、8元、6元、4元、2元、4元、6元、8元、10元,试求其精算现值。 13. 给定
(4)(4)是( ) a??17.287,Ax?0.1025。已知在每一年龄年UDD假设成立, 则ax A. 15.48 B. 15.51 C. 15.75 D. 15.82
a