. .
17. 在x岁投保的一年期两全保险，在个体（x）死亡的保单年度末给付b元，生存保险金为e元。保险人给付额现值记为Z, 则Var(Z)=( )
A. pxqxv2?b?e? B. pxqxv2?b?e? C. pxqxv2b2?e2 D. v2b2qx?e2px 解：
22????P(Z?bv)?qx,P(Z?ev)?pxP(Z2?b2v2)?qx,P(Z2?e2v2)?pxE(Z)?bvqx?evpxE(Z2)?b2v2qx?e2v2pxVar(Z)?E(Z2)??E(Z)??b2v2qx?e2v2px??bvqx?evpx??v2qxpx(b?e)222
第五章：年金的精算现值
练 习 题
1． 设随机变量T＝T(x)的概率密度函数为f(t)?0.015?e算现值 ax 。
?0.015t(t≥0)，利息强度为δ＝0.05 。试计算精
ax????1?vt0?fT(t)dt??2??01?e?0.05t0.015?e?0.015tdt?15.38 0.05（1）?；（2）ā???50。试求：
x 2．设 ax?10, ax?7.375, VaraT 。
??1??a?Axx??1?10??Ax2??221?2?a?A?x??1?14.75??Axx??1212?VaraT?2(Ax?(Ax))?50?2(2Ax?(Ax)2)
???????0.035???Ax?0.65?2?Ax?0.48375??
3． 某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。
a
. .
4． 某人现年23岁，约定于36年内每年年初缴付2 000元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止，所缴付款额也不退还。而当此人活到60岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，直至死亡为止。试求此人每次所获得的年金额。 解：2000a23:36?R37|a23?R?其中
2000a23:3637|a23
a23:36l23?k135k??vkp23??v??vl23?kll23k?0k?0k?023kk3535 ? ?37|1111(l23?l24?l?l?225326l231.06(1.06)(1.06)N23?N59D2337?1l)3558(1.06)a23?a23?a23:37?v3737p23a60?82k82kE23a60k?37
23?kl1 ??vkp23??v23?k?l23l23k?37k?37 ? ??vlk821111(l60?l60?l?l63?62l231.06(1.06)2(1.06)3N60D23?1l105)(1.06)55查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
习题5将参考课本P87例5.4.1现年35岁的人购买如下生存年金，且均于每月初给付，每次给付1000元，设年利率i=6%，求下列年金的精算现值。
（1） 终身生存年金。
(12)1000*12a35?12000[?(12)a35??(12)]
其中
d?i?0.0566037741?i12?i(12)?(12)1??1?i?i?0.058410606??12???d(12)?(12)?1???1?d?d?0.05812766712??idi?i(12)?(12)?(12)(12)?1.000281033,?(12)?(12)(12)?0.46811975idida
12 . .
l35?k171ka35??vkp35??v??vl23?kl35l23k?0k?0k?0kk7171 ? ?1111(l35?l36?l?l38?37l351.06(1.06)2(1.06)3N35D35?1l105)
(1.06)70若查90-93年生命表换算表则
a35?N351985692??15.695458 D35126513.8
5． 某人现年55岁，在人寿保险公司购有终身生存年金，每月末给付年金额250元，试在UDD假设和利率6%下，计算其精算现值。
(12)(12)解：250*12a55?250*12(a55?1)?250*12[?(12)a55??(12)?1] 1212其中
d?i?0.0566037741?i12?i(12)?(12)?1???1?i?i?0.05841060612???d(12)?(12)1??1?d?d?0.058127667??12??idi?i(12)?(12)?(12)(12)?1.000281033,?(12)?(12)(12)?0.46811975idid12l35?k171ka55??vkp55??v??vl23?kll23k?0k?0k?035kk7171 ? ?
1111(l35?l36?l?l?237338l351.06(1.06)(1.06)N35D35?1l) 70105(1.06)
6． 在UDD假设下，试证： (1)
n|ax(m)??(m)n|ax???m?nEx 。
(2) ax:n??(m)ax:n???m?(1?nEx) 。
(m) （3）ax:n?ax:n?a
(m)(m)1(1?nEx) 。 m . .
7． 试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值，且给付方法为：(1)按年；(2)按半年；(3)按季；(4)按月。
（1）解：1200a30?N31 D30(2)(2)（2）1000a30?1000(a30?1)?1000[?(2)a35??(2)?1]
22其中
d?i?0.0566037741?i2?i(2)?(2)?1???1?i?i?0.0591260282???d(2)?(12)?1???1?d?d?0.057428276
2??id?(2)?(2)(2)?1.000212217idi?i(2)?(2)?(2)(2)?0.257390809id2a30?
N30 D30(4)(4)（3）1000a30?1000(a30?1)?1000[?(4)a30??(4)?1]
44其中
d?i?0.0566037741?i4?i(4)?(4)1??1?i?i?0.058695385??4???d(4)?(4)?1???1?d?d?0.057846554
4??id?(4)?(4)(4)?1.000265271idi?i(4)?(4)?(4)(4)?0.384238536id4a30?N30 D30(12)(12)（4）1000a30?1000(a30?1)?1000[?(12)a30??(12)?1] 1212其中
a
. .
d?i?0.0566037741?i12?i(12)?(12)?1???1?i?i?0.05841060612???d?(12)?1???1?d?d?0.05812766712??idi?i(12)?(12)?(12)(12)?1.000281033,?(12)?(12)(12)?0.46811975idid(12)12
a30?N30 D30
8． 试证： (1) (2)
(m)ax?(m)ax?:n?i(m)ax ax:n 。
?i(m) (3) limaxm??(m)?ax 。
(4) ax?ax?1 。 2 9． 很多年龄为23岁的人共同筹集基金，并约定在每年的年初生存者缴纳R元于此项基金，缴付到64岁为止。 到65岁时，生存者将基金均分，使所得金额可购买期初付终身生存年金，每年领取的金额为3 600元。试求数额R。
10． Y是x岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量，已知 ax?10，
2ax?6，i?1 ，求Y的方差。 24 11． 某人将期末延期终身生存年金1万元遗留给其子，约定延期10年，其子现年30岁，求此年金的精算现值。
10|a30??vk?1175kkkp30??vk?1175l30?kl30?1l105)
(1.06)75 ? ?1111(l?l?l43?4142l30(1.06)11(1.06)12(1.06)13N41D30 12． 某人现年35岁，购买一份即付定期年金，连续给付的年金分别为10元、8元、6元、4元、2元、4元、6元、8元、10元，试求其精算现值。 13. 给定
(4)(4)是（ ） a??17.287，Ax?0.1025。已知在每一年龄年UDD假设成立， 则ax A. 15．48 B. 15.51 C. 15.75 D. 15.82
a
保险精算习题及答案
