课时作业(二)
一、选择题
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是( ) A．在点x0处的斜率
B．在点(x0，f(x0))处切线与x轴所夹锐角的正切值 C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率 D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率 解析：由导数的几何意义知，选项C正确． 答案：C
2．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2等于( ) A．－3 C．3
B．－1 D．1
解析：由导数的几何意义知，在点(2,1)处的切线斜率为y′|x＝2，又切线与3x－y－2＝0平行，
∴y′|x＝2＝3.故选C. 答案：C
11
3．函数f(x)＝－x2在点(，－)处的切线方程是( )
241
A．y＝－x－
81
C．y＝－x＋
4
11
B．y＝－x＋ 4811
D．y＝－x－ 48
11－?＋Δx?2＋241
解析：f′()＝lim ＝lim (－1－Δx)＝－1，故所求切线方程为y＝－(x－
2Δx
Δx→0
Δx→0
111
)－，即y＝－x＋，故选C. 244
答案：C
4．曲线y＝f(x)＝x2在点P处的切线斜率为k，当k＝2时，点P的坐标为( ) A．(－2，－8) C．(1,1)
B．(－1，－1) 11
D．(－，－)
28
解析：设点P的坐标为(x0，y0)，则k＝f′(x0)＝
1
f?x0＋Δx?－f?x0??x0＋Δx?2－x20lim ＝lim ＝lim (Δx＋2·x0)＝2x0，即2x0＝2.∴x0＝1，此
ΔxΔx
Δx→0
Δx→0
Δx→0
2
时y0＝x20＝1＝1，∴点P的坐标为(1,1)．故选C.
答案：C
5．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA) 解析：由图象易知，点A，B处的切线斜率kA，kB满足kA 答案：B 13 6．已知曲线y＝x2－2上一点P(1，－)，则点P处的切线的倾斜角为( ) 22A．30° C．135° 1 解析：∵y＝x2－2， 2 11 ?x＋Δx?2－2－?x2－2?22 ∴y′＝lim Δx Δx→0 B．45° D．165° 1 ?Δx?2＋x·Δx21 ＝lim ＝lim (x＋Δx)＝x. Δx2 Δx→0 Δx→0 ∴y′|x＝1＝1. 3 ∴点P(1，－)处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°，故选B. 2答案：B 1 7．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为( ) A．(1,0) C．(1,0)或(－1，－4) B．(2,8) D．(2,8)或(－1，－4) 解析：设P0(x0，y0)，由f′(x)＝3x2＋1，知曲线在点P0处切线的斜率为3x20＋1，因为曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以3x20＋1＝4，故x0＝1或x0＝－1，因此y0＝0或y0＝－4，所以P0点的坐标为(1,0)或(－1，－4)． 答案：C 8．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( ) A．0 B．1 C．2 D．3 8．D 二、填空题 9．已知曲线f(x)＝x3在点(2,8)处的切线方程为12x－ay－16＝0，则实数a的值为________． ?2＋Δx?3－23解析：因为f′(2)＝lim ＝ Δx Δx→0 12Δx＋6?Δx?2＋?Δx?312lim ＝12，所以曲线f(x)＝x3在点(2,8)处的切线的斜率为12，所以 Δxa Δx→0 ＝12，a＝1. 答案：1 10．[2014·广东卷] 曲线y＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________． 10．y＝－5x＋3 [解析] 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y′＝－5e5x＋3. 1 11．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，则f(1)＋f′(1) 2＝________. 11551 解析：由导数几何意义知f′(1)＝k＝，又f(1)＝×1＋2＝，于是f(1)＋f′(1)＝＋＝ 222223. 答案：3 12.[2014·江西卷] 若曲线y＝ex上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________． 1 － －5x ，所以切线的斜率k＝－5e0＝－5，所以切线方程是：y－3＝－5(x－0)，即y＝－ 13．(－ln 2，2) [解析] 设点P的坐标为(x0，y0)，y′＝－ex.又切线平行于直线2x＋y＋1＝0，所以－e－x0＝－2，可得x0＝－ln 2，此时y＝2，所以点P的坐标为(－ln 2，2)． － 三、解答题 11 13．求曲线y＝在点(，2)处的切线的斜率，并写出切线方程． x211 －x＋Δxx1Δy 解：∵y＝，∴k＝lim ＝lim xΔxΔx Δx→0 Δx→0 ＝lim Δx→0 －11 ＝－. x2x2＋x·Δx 1 ∴当x＝时，k＝－4.∴切线斜率为k＝－4. 21 ∴切线方程为y－2＝－4(x－)． 2即4x＋y－4＝0. 14．已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标． 解：设切点P(x0，y0)， [2?x＋Δx?2－7]－?2x2－7?Δy 由y′＝lim ＝lim ΔxΔx Δx→0 Δx→0 ＝lim (4x＋2Δx)＝4x， Δx→0 得k＝y′|x＝x＝4x0. 0 根据题意4x0＝8，x0＝2， 代入y＝2x2－7得y0＝1. ∴所求切点为P(2,1)． 15．已知曲线y＝f(x)＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，求切线的方程． Δyf?x0＋Δx?－f?x0? 解：＝＝ ΔxΔx 2 ?x0＋Δx?3－3?x0＋Δx?2＋1－x30＋3x0－1 ＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0. Δx 2－6x]＝3x2－6x，于是3x2－6x＝9，解得x所以f′(x0)＝lim[(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x0000000 Δx→0 ＝3或x0＝－1，因此，点P的坐标为(3,1)或(－1，－3)． 又切线斜率为9，所以曲线在点P处的切线方程为y＝9(x－3)＋1或y＝9(x＋1)－3，即9x－y－26＝0或9x－y＋6＝0. 1 [拓展延伸] 16．已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x9y＝0垂直． (1)求实数a，b的值； (2)求过已知函数图象上某点处切线的斜率的取值范围． 解：(1)因为y′＝f′(x) lim a?x＋Δx?3＋b?x＋Δx?2－ax3－bx2 ＝Δx Δx→0 ＝3ax2＋2bx. ∵f(x)＝ax3＋bx2的图象过点M(1,4)， ∴a＋b＝4. 又∵曲线在点M处的切线与直线x＋9y＝0垂直， ∴f′(1)＝9，∴3a＋2b＝9. 由???a＋b＝4， ??得??a＝1，?3a＋2b＝9，??b＝3. (2)由(1)知y′＝f′(x)＝3ax2＋2bx＝3x2＋6x＝3(x＋1)2－3≥－3，∴过已知函数图象上某点处的切线的斜率的取值范围是k≥－3. 1 ＋
高中数学人教A版选修1-1课时作业：3-1-3导数的几何意义 word版含答案
