课时作业(二)
一、选择题
1.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是( ) A.在点x0处的斜率
B.在点(x0,f(x0))处切线与x轴所夹锐角的正切值 C.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率 D.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率 解析:由导数的几何意义知,选项C正确. 答案:C
2.已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x-y-2=0平行,则y′|x=2等于( ) A.-3 C.3
B.-1 D.1
解析:由导数的几何意义知,在点(2,1)处的切线斜率为y′|x=2,又切线与3x-y-2=0平行,
∴y′|x=2=3.故选C. 答案:C
11
3.函数f(x)=-x2在点(,-)处的切线方程是( )
241
A.y=-x-
81
C.y=-x+
4
11
B.y=-x+ 4811
D.y=-x- 48
11-?+Δx?2+241
解析:f′()=lim =lim (-1-Δx)=-1,故所求切线方程为y=-(x-
2Δx
Δx→0
Δx→0
111
)-,即y=-x+,故选C. 244
答案:C
4.曲线y=f(x)=x2在点P处的切线斜率为k,当k=2时,点P的坐标为( ) A.(-2,-8) C.(1,1)
B.(-1,-1) 11
D.(-,-)
28
解析:设点P的坐标为(x0,y0),则k=f′(x0)=
1
f?x0+Δx?-f?x0??x0+Δx?2-x20lim =lim =lim (Δx+2·x0)=2x0,即2x0=2.∴x0=1,此
ΔxΔx
Δx→0
Δx→0
Δx→0
2
时y0=x20=1=1,∴点P的坐标为(1,1).故选C.
答案:C
5.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA) 解析:由图象易知,点A,B处的切线斜率kA,kB满足kA 答案:B 13 6.已知曲线y=x2-2上一点P(1,-),则点P处的切线的倾斜角为( ) 22A.30° C.135° 1 解析:∵y=x2-2, 2 11 ?x+Δx?2-2-?x2-2?22 ∴y′=lim Δx Δx→0 B.45° D.165° 1 ?Δx?2+x·Δx21 =lim =lim (x+Δx)=x. Δx2 Δx→0 Δx→0 ∴y′|x=1=1. 3 ∴点P(1,-)处切线的斜率为1,则切线的倾斜角为45°,故选B. 2答案:B 1 7.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为( ) A.(1,0) C.(1,0)或(-1,-4) B.(2,8) D.(2,8)或(-1,-4) 解析:设P0(x0,y0),由f′(x)=3x2+1,知曲线在点P0处切线的斜率为3x20+1,因为曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,所以3x20+1=4,故x0=1或x0=-1,因此y0=0或y0=-4,所以P0点的坐标为(1,0)或(-1,-4). 答案:C 8.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.D 二、填空题 9.已知曲线f(x)=x3在点(2,8)处的切线方程为12x-ay-16=0,则实数a的值为________. ?2+Δx?3-23解析:因为f′(2)=lim = Δx Δx→0 12Δx+6?Δx?2+?Δx?312lim =12,所以曲线f(x)=x3在点(2,8)处的切线的斜率为12,所以 Δxa Δx→0 =12,a=1. 答案:1 10.[2014·广东卷] 曲线y=e -5x +2在点(0,3)处的切线方程为________. 10.y=-5x+3 [解析] 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法.因为y′=-5e5x+3. 1 11.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y=x+2,则f(1)+f′(1) 2=________. 11551 解析:由导数几何意义知f′(1)=k=,又f(1)=×1+2=,于是f(1)+f′(1)=+= 222223. 答案:3 12.[2014·江西卷] 若曲线y=ex上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是________. 1 - -5x ,所以切线的斜率k=-5e0=-5,所以切线方程是:y-3=-5(x-0),即y=- 13.(-ln 2,2) [解析] 设点P的坐标为(x0,y0),y′=-ex.又切线平行于直线2x+y+1=0,所以-e-x0=-2,可得x0=-ln 2,此时y=2,所以点P的坐标为(-ln 2,2). - 三、解答题 11 13.求曲线y=在点(,2)处的切线的斜率,并写出切线方程. x211 -x+Δxx1Δy 解:∵y=,∴k=lim =lim xΔxΔx Δx→0 Δx→0 =lim Δx→0 -11 =-. x2x2+x·Δx 1 ∴当x=时,k=-4.∴切线斜率为k=-4. 21 ∴切线方程为y-2=-4(x-). 2即4x+y-4=0. 14.已知曲线y=2x2-7在点P处的切线方程为8x-y-15=0,求切点P的坐标. 解:设切点P(x0,y0), [2?x+Δx?2-7]-?2x2-7?Δy 由y′=lim =lim ΔxΔx Δx→0 Δx→0 =lim (4x+2Δx)=4x, Δx→0 得k=y′|x=x=4x0. 0 根据题意4x0=8,x0=2, 代入y=2x2-7得y0=1. ∴所求切点为P(2,1). 15.已知曲线y=f(x)=x3-3x2+1在点P处的切线平行于直线y=9x-1,求切线的方程. Δyf?x0+Δx?-f?x0? 解:== ΔxΔx 2 ?x0+Δx?3-3?x0+Δx?2+1-x30+3x0-1 =(Δx)2+3x0Δx-3Δx+3x20-6x0. Δx 2-6x]=3x2-6x,于是3x2-6x=9,解得x所以f′(x0)=lim[(Δx)2+3x0Δx-3Δx+3x0000000 Δx→0 =3或x0=-1,因此,点P的坐标为(3,1)或(-1,-3). 又切线斜率为9,所以曲线在点P处的切线方程为y=9(x-3)+1或y=9(x+1)-3,即9x-y-26=0或9x-y+6=0. 1 [拓展延伸] 16.已知函数f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x9y=0垂直. (1)求实数a,b的值; (2)求过已知函数图象上某点处切线的斜率的取值范围. 解:(1)因为y′=f′(x) lim a?x+Δx?3+b?x+Δx?2-ax3-bx2 =Δx Δx→0 =3ax2+2bx. ∵f(x)=ax3+bx2的图象过点M(1,4), ∴a+b=4. 又∵曲线在点M处的切线与直线x+9y=0垂直, ∴f′(1)=9,∴3a+2b=9. 由???a+b=4, ??得??a=1,?3a+2b=9,??b=3. (2)由(1)知y′=f′(x)=3ax2+2bx=3x2+6x=3(x+1)2-3≥-3,∴过已知函数图象上某点处的切线的斜率的取值范围是k≥-3. 1 +
高中数学人教A版选修1-1课时作业:3-1-3导数的几何意义 word版含答案
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