专题7.2 一元二次不等式及其解法
【考纲解读】
要求 内容 A B C 一元二次不等式 √ 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）. 集了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题. 合 线性规划 √ 理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题. 掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困基本不等式 √ 难的问题. 【直击考点】
题组一 常识题
备注 1．不等式－x－x＋2≥0的解集是________．
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2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x(0＜x＜240，
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x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________
台．
【解析】根据题意，得3000＋20x－0.1x≤25x，
整理得x＋50x－30 000≥0，解得x≤－200(舍去)或x≥150. 因为x∈N，所以生产者不亏本时的最低产量是150台．
3. 若关于x的一元二次方程mx－(1－m)x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是______________． 【解析】易知m≠0，Δ＝[－(1－m)]－4m<0，整理得－3m－2m＋1<0，即3m＋2m－1>0，解得m<
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??－1或m>，所以m的取值范围是(－∞，－1)∪?，＋∞?.
?4．已知函数f(x)＝(ax－1)·(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是 ______________.
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题组二 常错题
5．不等式x(2－x)>0的解集为________．
【解析】由不等式x(2－x)＞0，得不等式x(x－2)＜0，则0＜x＜2. 6．不等式(ax－1)(x－2)＜0(a≤0)的解集是________．
【解析】当a<0时，不等式(ax－1)(x－2)＜0可化为?x－?(x－2)>0，解得x＜或x>2；当a＝0时，不等式(ax－1)(x－2)＜0可化为x－2＞0，解得x＞2.
7．不等式??1?a?1ax－1≤0的解集是________． 2x＋1?（x－1）（2x＋1）≤0，???2x＋1≠0，【解析】原不等式等价于?题组三 常考题
解得－＜x≤1.
128． 设集合A＝{x|x－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝________________．
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????【解析】集合A＝(1，3)，B＝?，＋∞?，所以A∩B＝?，3?.
??9． 不等式2x－x＜4的解集为________．
【解析】因为2x2－x<4＝2，所以x－x<2，解得－1 10．设函数f(x)＝mx－mx－1.若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，则m的取值范围是 ________． 【解析】要使mx－mx－1＜0恒成立，若m＝0，显然－1＜0； ??m＜0，若m≠0，则??－4＜m＜0， ?Δ＝m2＋4m＜0?2 2 2 2 2 3?23?2所以m的取值范围为－4＜m≤0. 【知识清单】 考点1 一元二次不等式的解法 对于一元二次方程， ， 的两根为 可分三种情况，相应地，二次函数 且 ，设 ，它的解按照 的图像与 轴的位置关 系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 的解集. 或 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 考点2 一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式 由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论 对任意实数 ??a＝b＝0， 恒成立?? ?c>0，???a＝b＝0， 恒成立?? ?c<0，? (2)不等式对任意实数 ??a>0，或? ?Δ<0.???a<0，或? ?Δ<0.? 当定义域不是全体实数时，可结合二次函数图象考虑或者参变分离或转化为求二次函数最值． 考点3 一元二次不等式的应用 构建不等式模型解决实际问题 不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解． 【考点深度剖析】 江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查. 一元二次不等式及其解法主要有两种常见的考查方式：一是解一元二次不等式，往往是比较简单的，是一些问题的基础；二是与恒成立问题相结合，这一般都要与一元二次方程和一元二次函数相结合，也就是常说的“三个二次”问题. 【重点难点突破】 考点1 一元二次不等式的解法 【1-1】不等式 【答案】a =－4，b =－9 【解析】 不等式 的解集为 ，， 的解集为 ，则不等式 为方程 . 的解集为.【答案】 的两根，则 的解集为 ，则 . 根据根与系数关系可得【1-2】已知不等式 解为； 【1-3】已知函数若，则实数的取值范围为. 【答案】 【解析】或，∴或，∴或， ∴. 2 【1-4】不等式x＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是. 【答案】(－∞，－4)∪(4，＋∞) 【解析】不等式x＋ax＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a－16>0，∴a<－4或a>4. 2 2 【1-5】解不等式 【思想方法】 1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法； 3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论； 4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系； 5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【温馨提醒】 注意一元二次方程、二次函数、二次不等式的联系，解二次不等式应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；当 时，需要计算相应二次方程的根，其解集是用根表示，对于含参数的二 次不等式，需要针对开口方向、判别式的符号、根的大小分类讨论. 考点2 一元二次不等式恒成立问题 【2-1】不等式x－2x＋5≥a－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为. 【答案】[－1,4] 【解析】x－2x＋5＝(x－1)＋4的最小值为4，所以x－2x＋5≥a－3a对任意实数x恒成立，只需a－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A. 【2-2】若不等式【答案】 的解集是R，则m的范围是. 2 2 2 2 2 2 2 【2-3】若不等式 对满足 的所有 都成立，则x的取值范围是.
【精选】江苏版高考数学一轮复习专题7.2一元二次不等式及其解法讲
