∴∠DAC＝∠C.
∵∠CAE＝∠EAD＋∠DAC，∠CAE＝2∠C， ∴∠EAD＝∠C. ∵∠C＝∠B， ∴∠B＝∠EAD.
∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB＋∠B＝90°， ∴∠EAD＋∠DAB＝90°， ∴∠EAO＝90°， 即OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线.
（2）解：在△ADH中，∠ADH＝90°，DH＝9， ∵∠DAH＝∠C，tanC＝∴tan∠DAH＝∴
3， 4DH3?， AD493?，∴AD＝12. BD43， 4在△BAD中，∠ADB＝90°，AD＝12， ∴tan∠B＝ tan∠C＝∴tan∠B＝∴BD＝16.
∵∠ADB＝90°，∴AB＝{分值}8
{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {考点:圆周角定理}
{考点:直径所对的圆周角} {考点:切线的判定} {考点:正弦}
{考点:三角函数的关系} {考点:勾股定理}
AD3?， BD4AD2?BD2?122?162?20．
{类别:常考题} {难度:4-较高难度}
{题目}21.( 2024山东济宁21)阅读下面材料：
如果函数y＝f(x)满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2， （1）若x1＜x2，都有f(x1) ＜ f(x2)，则称f(x)是增函数； （2）若x1＜x2，都有f(x1) ＞ f(x2)，则称f(x)是减函数． 例题：证明函数f(x)＝
6(x＞0)是减函数． x666x?6x16?x2?x1??＝2?. x1x2x1x2x1x2证明：设0＜x1＜x2，f(x1) － f(x2)＝
∵0＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x1x2＞0．
6?x2?x1?∴＞0，
x1x2即f(x1) — f(x2)＞0， ∴f(x1) ＞ f(x2)， ∴函数f(x)＝
6(x＞0)是减函数． x根据以上材料，解答下面的问题：
1171f?1???1?0,f?2???2?????????? 已知函数f?x??2?x（x＜0），224??1???2?x（1）计算：f(－3)＝________， f(－4)＝________； （2）猜想：函数f?x??1?x（x＜0）是________函数（填“增”或“减”）； 2x（3）请仿照例题证明你的猜想． {解析}本题考查了函数的增减性，解题的关键是模仿例题进行求解.（1）模仿例题代入计算；（2）根据分式的加减法法则将分式通分、因式分解，根据x1、x2的取值范围，判断出结果的正负性，从而得到函数的增减性． {答案}解：（1）f??3??1??3?2???3???26163 . ,f??4????4????2916??4?（2）增.
（3）证明：设x1＜x2＜0，
?1??1?1x22?x121?x1?x2 f(x1) － f(x2)＝?2?x1???2?x2??2?2?x1?x2?22x1x2?x1??x2?x1x2??x2?x1??x2?x1??x12x22?x2?x1???x2?x1??x2?x1?1?x12x22．
22
∵x1＜x2＜0，∴x2—x1＞0，x1x2＞0，x2＋x1－1＜0，
∴
?x2?x1??x2?x1?1?xx2212＜0，
即f(x1)－f(x2)＜0， ∴f(x1) ＜ f(x2)， ∴函数f?x??{分值}8
{章节:[1-19-1-1]变量与函数} {考点:因式分解－提公因式法} {考点:两个分式的加减} {考点:函数的概念} {类别:高度原创} {难度:4-较高难度}
{题目}22.( 2024山东济宁)如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．
（1）求线段CE的长；
（2）如图2，M，N分别是线段AG,DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．
①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；
②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
1?x是增函数． 2x
{解析}本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、菱形的判定、三角形相似、二次函数的最值、等腰三角形的性质与判定以及分类讨论思想.（1）根据矩性质、折叠的性质，用勾股定理可求得线段CE的长；（2）先四边形AFGE为菱形，根据菱形的性质以及三角形相似的判定，可得△ADM∽△GMN，利用相似的性质，可得y和x的函数关系式，通过公式法求出二次函数的最小值；（3）用相似三角形的性质和等腰三角形的性质，以及分类讨论思想可得到最后的结果．
{答案}（1）由折叠可得AF＝AD＝10,EF＝ED.
222
矩形ABCD中，∠B＝90°，∴AB＋BF＝AF, ∴BF?AF2?AB2?102?82?6,
∴CF＝BC－BF＝AD－BF＝10－6＝4．
设CE＝x，则EF＝DE＝CD－CE＝AB－CE＝8－x，
222
∵EF＝CE＋CF，
222
∴(8－x)＝x＋4，解得∴x＝3. ∴CE＝3.
（2）①∵矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAG＝∠AGF.
∵∠DAG＝∠FAG, ∠DAG＝∠AGF, ∴∠FAG＝∠AGF. ∴AF＝FG＝10.
∴BG＝BF＋FG＝6＋10＝16． ∵矩形ABCD中，∠B＝90°，
222
∴AB＋BG＝AG, ∴AG?AB2?BG2?82?162?85.
∵AD＝FG，AD∥FG,
∴四边形AFGE是平行四边形， ∵AD＝AF，
∴平行四边形AFGE是菱形.
∴DG＝DA＝10. ∴∠DAG＝∠DGA.
∵∠DMG＝∠DMN＋∠NAG＝∠DAM＋∠ADM, ∠DMN＝∠DAM， ∴∠NMG＝∠ADM．
在△ADM和△MNG中，∠ADM＝∠NMG, ∠DAG＝∠DGA, ∴△ADM∽△GMN， ∴
ADAM， ?MGNG10x， ?10?y85?x1245x?x?10. 105∴∴y?∵
1＞0， 10455∴当x??12?10??45?14??10????105???2．
?45时，y有最小值为
14?101245x?x?10，当x=45时，y有最小值为2． 1052∴y关于x的函数解析式是y?②在△DMN和△DMG中，∠DMN＝∠DGM，∠MDG＝∠MDG,
∴△DMN和△DMG是相似三角形．
当△DMG是等腰三角形时，△DMN也是等腰三角形．
∵M不与A重合，∴DM≠DG,∴△DMG是等腰三角形只有GM＝GD或DM＝GM两种情况：
（1）如图3，当△DMG中GM＝GD＝10时，△DMN也是等腰三角形，即x＝AG－MG＝
85?10;
（2）如图4，当△DMG中DM＝GM时，△DMN也是等腰三角形，∴∠MDG＝∠DGM，∴∠DAG＝∠MDG＝∠MDG, ∴△ADG∽△DMG， ∴
ADAG, ?MGDG∴1085， ?85?x10115． 2115时，△DMN是等腰三角形． 2∴x＝综合上述，当x的值为2或{分值}11
{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质} {考点:等腰直角三角形} {考点:勾股定理}
{考点:平行四边形边的性质}
{考点:对角线互相平分的四边形是平行四边形} {考点:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形} {考点:矩形的性质} {考点:菱形的判定}
{考点:相似三角形的性质}
{考点:相似三角形的判定（两角相等）} {考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质} {考点:几何综合} {类别:发现探究} {难度:5-高难度}
2024年山东济宁中考数学试题（解析版）
