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安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书
非线性系统线性化综述
程代展，李志强
(中国科学院数学与系统科学研究院，北京 100190)
摘要：非线性系统的线性化是设计非线性系统控制的强有力工具。这一方法已经在飞行器控制、电力系统的安全控制、化学反应器控制、经济系统、生物学系统和机器人控制等领域得到广泛应用。本文阐述了非线性系统线性化的发展历史以及有深刻意义的结果。首先回顾从非线性系统的近似线性化到精确线性化的发展。主要内容Poincare线性化、系统能通过状态反馈线性化的充要条件和算法。然后介绍各种不同的线性化方法：动态反馈线性化，近似线性化，Cralema3/l线性化等。本文主要目的是对非线性系统线性化的历史，现状和一些重要问题进行一个较完整全面的介绍，从而提供从事线性化理论与应用研究的基础。
关键词：线性化；Poincare定理；状态反馈 ；非正则；部分线性化
1 介绍
非线性系统线性化处理与非线性（控制）系统是最有效的方法之一. 它已被广泛用于研究很长一段时间, 已获得许多有价值的理论成果. 线性化也已被广泛用于各种工程问题。例如，飞机控制，动力系统，化学反应，经济系统，生物系统，神经网络，空调系统，生态系统，机器人控制系统等。
垂直起降飞行器模型不是静态状态反馈线性化而是动态状态反馈线性化。双旋翼直升机模型的飞行控制器的设计。局部线性化的设计方法主要运用静态反馈线性和较低的子系统层次实现。输入输出反馈线性化方法被用来设计一个分散的大型电力系统的非线性控制器，事实证明，输入输出线性化类型的反馈可以接近反应器任意设定点的运动轨迹，即使有参数的不确定性。状态空间精确线性化方法应用于Kaldor和Bonhoeffer-Van Der Pohl 非线性控制系统的非线性反馈控制律的设计。线性化的应用分别列举了生物系统和物理系统这两个系统的综合分析。作为多输入多输出双线性系统的一个VAVAC电厂的动态模型推导和制定。反馈线性化的应用于非线性模型的解耦和线性化，非正规的静态反馈线性化应用于一类柔性关节机器人，构建控制器是全局渐近稳定。
线性系统
??Ax，x??n (1.1) x它可以被称为最简单的动态系统。其动态特性完全取决于其系数矩阵A,一类非线性
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系统 ??f?x?，x??n (1.2) x利用B提出的泰勒展开式，独立，f的各组成部分，我们有 ??x?x?TH?x??x?x??0f100??1f?x??f?x0??Jf?x?x0???????， 2!??Tx?xHxx?x?0?fn?0??0?????其中 ??f1??x?1?????f?n???x1??f1??xn??? (1.3) ??fn??xn??Jf?x0??是f的雅可比矩阵，并且 ??2fi?2?x1?????2??fi??x?x?n1?fi?x1?x222?Hfi?x0??f1?xn?x2?2?fi???x1?xn???2?fi?2?xn??，i?1,2,?,n， 是fi的Hessian矩阵。假设f?0??0,i,e，x0?0是f的一个平衡点。那么，我们可以近似它为 ??Jfx，x?Rn. (1.4) x这是古典的近似线性。这可以做到围绕式(1.2)的每一个平衡点。 关于这个线性化众所周知的结果如下：如果J特征值有负实部，系统(1.2)在原点是渐近稳定的。如果它有至少一个特征值有正向的现实部分，该系统在原点是不稳定。这一结果发表在1983。 考虑仿射非线性控制系统 m??fx?x???i?1gi?x?ui?f?x??G?x?u，x?Rn， (1.5) 其中f?x?和gi?x?，i?1,?,m是从Rn到Rn的光滑映射。假设f?0??0为了得到(1.5)一个类似的状态反馈闭环形式的线性化近似，让J作为式(1.3)和bi?gi?0?，i?1,?,m（简略的B?G?0?），然后对系统(1.5)线性化近似为： m??Jx?x?buii?1i?Jx?Bu，x?Rn. (1.6) 在分析和设计系统中近似线性化是一个有用的工具，但它也有一些缺点如： ? 它只是一个近似值，并且不能用于精确设计的系统动力学。 共 14 页 第 2 页
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? 它体现出只有非常有限的局部性质。
? 当J存在某些情况（有实部为零的特征值），没有任何结论。
非线性控制系统的微分几何方法首先由Brockett提出。在此以后，它已经发展成一个非线性控制系统的几何理论。在建立了几何结构，代替?n。可以定义为一个n阶的非线性控制系统。这是一般的框架放宽了状态空间的限制。假设，当满足条件时，可以用??,3?来描述其状态。我们参阅[15]的详细的图示和许多有趣的示例。
第一，非线性控制系统几何理论最成功的成果之一可能是非线性系统的精确线性化。这一成果得到了各种实际的应用。同时，许多扩展和概括已经提出。这些工作包括：（a）不同类型的线性化，如全局线性，输入输出线性化，具有输出线性化，近似线性等；（b）数学工具的发展，如非正规的反馈线性化，动态反馈线性化等；（c）相关形式，如部分线性，一般的P矩阵形式等。
本文组织如下：在第2节回顾微分几何中的相关概念。在第3节，考虑局部（全局）庞加莱线性。在第4节给出状态反馈线性化的结果。在第5节给出算法和全局线性。在第6节已重述非定期的反馈线性化。在第7节介绍输入输出线性化。在第8节中，我们讨论局部线性化。关于线性化的其他问题，如近似线性化，动态反馈线性化，carleman线性化和p矩阵线性化，在第9节介绍。第10节是一个简单的总结。
2 几何预备知识
本节提供了微分几何中的相关概念的简要回顾，详细内容请参阅[16]。
定义2.1 一个可微的?C?,C?,C??多种可计算Hausdorff的拓扑空间。M，在一个坐标系邻域内u??U?,???使得（1）U?U?包含M；（2）对于任意的?，?在相邻的邻域内?U?,???与?U?,???都兼容都于?C?,C?,C??；（3）任何坐标邻域内?V,??兼容着每个?U?,????U本身就在U内。为了便于说明，我们只考虑C?情况。 定义2.2
1.函数h?x?是一个从M到?的映射。集合C?对函数M记为C??M?；
2.向量X?x?对于其中指定的每个x?M向量X?x??Tx?M?，其中Tx?M?是点x在M的切线空间，向量场表示为V??M?；
3.共同向量场（或之一）??x?对于其中指定的每个x?M向量X?x??Tx??M?，其中
Tx?M?在点x是M的余切空间；
?4.一个分布(共同分布)，??x????x??对于其中每个x?M的一个子空间有
??x??Tx?M????x??Tx??M??。
定义2.3 让h?x??C??M?，X?x?,Y?x??V??M?，??x??V???M?。然后： 1. h?x?关于X?x?的李函数导数记为Lxh，是一个从C??M?到C??M?的映射，局
部坐标系定义为：
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Lxh?X?x?dh?x?； (2.1) 2. Y?x?关于X?x?的李导数的向量场记为adxY或者????X?x?,Y?x?，是一个从??V?M?到V?M?的映射，局部坐标系定义为： adxY??X,Y???Y?xX??X?xY； (2.2) 3. ??x?记为关于X?x?的李导数的共同向量记为Lx?，是一个从V???M?到V???M?的映射，局部坐标系定义为： Lx??fT???T??X???x????x??x?T (2.3) 让h?x?，??x??C??M?，X?x?，Y?x?，Z?x??V??M?，??x??V???M?。以下是一些有用的公式： Lxdh?dLxh (2.4) Jacobi恒等式 ??X,?Y,Z??????Y,?Z,X??????Z,?X,Y????0 (2.5) ?hX,?Y??h??X,Y??hLx?YLeibniz公式 ??LYhX (2.6) LX?,Y?LX,Y??,adXY (2.7) adX?hY???LXh?Y?hadXY (2.8) L?X,Y??h??LXLYh?LYLXh (2.9) 3 庞加莱线性化 定义3.1 考虑系统(1.2)，如果存在局部(全局)坐标变化z???x?，这样，在z坐标系(1.2)可表示为(1.1)，然后(1.2)被认为是局部或者(全局)的庞加莱线性化。 假设f?0??0。我们表示L?Jf?0?x并且Hk是集合k定理的齐次向量场。则下列事实是显而易见的或易于验证的： ? Hk是一个线性向量空间在?上； ? adL:Hk?Hk是一个线性映射； ? adL?Hk?是Hk的一个子空间。 基于上述事实，我们可以找到Hk的一个子空间，记为Gk，使得 Hk?adL?Hk??Gk (3.1) 定理3.2 存在一个坐标变换y???x?，这样（1.2）可以表示为 ??L?g2?x??g3?x????gr?x??Ox?xr?1?， (3.2) 其中gi?x??Gi,i?2,3,?,r。 注3.3 我们应该注意到， 共 14 页 第 4 页
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? 如果adL?Hi??Hi则有gi?0。(3.2)成为一个近似的线性化形式。 ? r可以任意大。当r??时，得到一个线性化的形式。 坐标变换可以如下构造： ??L??2?x???3?x???4?x??? x?y?x?P2?x? ??L?g3?y????4?y????5?y??? y??L?g4?z????5?z????6?z?? ?z?y?P3?y?z其中?k?x?,pk?x?,gk?z?都是k-th齐次向量。详细的算法我们参考文献[18]。 现在的问题是，当adX?Hk?=Hk,?k?2。 定义3.4 让A?Mm?n并且??A?=??1,??n?。A被认为是共振，如果存在m??m1,?mn??Z，并且m?2,i.e.,mi?0和?mi?2，使得对某些s， n?i?1nn?s??m? iii?1否则，A被认为是非共振的。 定理3.5 (庞加莱定理)考虑系统(1.2)，假设L?Ax和A是非共振，则存在一个局部坐标的变化 x?y?h?y? (3.3) 该系统可以(局部)表示为 ??Ayy 一些难点问题（1）如何构造式(3.3)的坐标变换；（2）如何能尽量大的变化式(3.3)的局部坐标，我们参考参考文献[20][21]来进一步讨论。 4 状态反馈线性化 考虑系统(1.5)，假设x0?0是f?x?的一个平衡点。 定义4.1 系统(1.5)被认为是在点x0?0的局部线性化，存在局部微分同胚（坐标变化）z???x?和状态反馈控制 u???x????x?v (4.1) 其中??0?是一个非奇异的m?m矩阵，使得的闭环系统 ? (4.2) ??f?x????x??G?x???x?v:?f??Gvx在z坐标系下构造成一个线性的系统 ??Az?Bv，??1?z??Wz (4.3) 其中W是邻域原点并且?A,B?是完全可控的。 定义序列分布为 共 14 页 第 5 页
非线性系统线性化综述翻译
