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追及相遇问题
一、梳理归类 1.概述
当两个物体在同一条直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题.
2.两类情况
(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度. (2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者的速度相等时，两者相距最近. 3.相遇问题的常见情况
(1)同向运动的两物体追及并相遇：两物体位移大小之差等于开始时两物体间的距离. (2)相向运动的两物体相遇：各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离.
练习1 平直公路上的甲车以10 m/s的速度做匀速直线运动，乙车静止在路面上，当甲车经过乙车旁边时，乙车立即以大小为1 m/s的加速度沿相同方向做匀加速运动，从乙车加速开始计时，则( )
A.乙车追上甲车所用的时间为10 s B.乙车追上甲车所用的时间为20 s C.乙追上甲时，乙的速度是15 m/s D.乙追上甲时，乙的速度是10 m/s 答案 B
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解析 设乙车追上甲车所用的时间为t，则有v甲t＝at，解得t＝20 s，选项A错误，B正确；由v＝at2得，乙车追上甲车时，乙车速度v乙＝20 m/s，选项C、D错误.
二、考点归纳 考点一 追及相遇问题 1.分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”.
(1)一个临界条件：速度相等.它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口.
2.能否追上的判断方法
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，到vA＝vB时，若xA＋x0＜xB，则能追上；若xA＋x0＝xB，则恰好不相撞；若xA＋x0＞xB，则不能追上.
3.特别提醒
若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动. 4.三种方法
(1)临界法：寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大
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距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离.
(2)函数法：设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇.
(3)图象法.
①若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇. ②若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积.
错误！未找到引用源。例1 甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶，甲车在前，速度为v1＝8 m/s，乙车在后，速度为v2＝16 m/s，当两车相距x0＝8 m时，甲车因故开始刹车，加速度大小为a1＝2 m/s，为避免相撞，乙车立即开始刹车，则乙车的加速度至少为多大？
答案 6 m/s
解析 方法一：临界法
设两车速度相同时均为v，所用时间为t，乙车的加速度大小为a2，则v1－a1t＝v2－a2t＝v，
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v1＋vv2＋vt＝
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t－x0，解得t＝2 s，a2＝6 m/s2，即t＝2 s时，两车恰好未相撞，显然此后在停止运动前，甲的速度始终大
于乙的速度，故可避免相撞.满足题意的条件为乙车的加速度至少为6 m/s.
方法二：函数法
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甲、乙运动的位移：x甲＝v1t－a1t，x乙＝v2t－a2t
22避免相撞的条件为x乙－x甲 即(a2－a1)t＋(v1－v2)t＋x0>0 2代入数据有(a2－2)t－16t＋16>0 不等式成立的条件是：Δ＝16－4×16(a2－2)<0，且a2－2>0 解得a2>6 m/s. 变式1 (多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图象如图1所示.已知两车在t＝3 s时并排行驶，则( ) 2 2 2 2 图1 A.在t＝1 s时，甲车在乙车后 B.在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m C.两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m 答案 BD 112222解析 由题中v－t图象得a甲＝10 m/s，a乙＝5 m/s，两车在t＝3 s时并排行驶，此时x甲＝a甲t＝×10×3 22 精品 1122 m＝45 m，x乙＝v0t＋a乙t＝10×3 m＋×5×3 m＝52.5 m，所以t＝0时甲车在前，距乙车的距离为L＝x乙 221122 －x甲＝7.5 m，B项正确.t＝1 s时，x甲′＝a甲t′＝5 m，x乙′＝v0t′＋a乙t′＝12.5 m，此时x乙′＝x22 甲 ′＋L＝12.5 m，所以另一次并排行驶的时刻为t＝1 s，故A、C项错误；两次并排行驶的位置沿公路方向相 距L′＝x乙－x乙′＝40 m，故D项正确. 变式2 在平直公路上有甲、乙两辆汽车从同一位置沿着同一方向运动，它们的速度－时间图象如图2所示，则( ) A.甲、乙两车同时从静止开始出发 B.在t＝2 s时乙车追上甲车 C.在t＝4 s时乙车追上甲车 D.甲、乙两车在公路上可能相遇两次 答案 C 图2
2024高中物理 第2章 追及相遇问题专项探究学案 新人教版必修1
