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专题三 规律探究问题
1．(2024·南岸区)如图1是一组有规律的图案，第1个图案由5个基础图形组成，第2个图案由8个基础图形组成，……，如果按照以上规律继续下去，那么通过观察，可以发现：第20个图案需要________个基本图形( )
……
图1
A．402 C．406
B．404 D．408
1
称为a的差倒数，如：2的差倒数1－a
2．(2024·济宁)已知有理数a≠1，我们把
111是＝－1，－1的差倒数是＝.如果a1＝－2，a2是a1的差倒数，a31－21－?－1?2是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，……，依此类推，那么a1＋a2＋…＋a100的值是( ) A．－7.5 C．5.5
B．7.5 D．－5.5
3．(2024·淄博)将从1开始的自然数按以下规律排列．例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是________．
图2
111
4．(2024·成都)已知a>0，S1＝a，S2＝－S1－1，S3＝，S4＝－S3－1，S5＝，…(即
S2S4当n为大于1的奇数时，Sn＝按此规律，S2 018＝________.
5．(2017·威海)某广场用同一种如图3所示的地砖拼图案，第1次拼成形如图3①所示的图案，第2次拼成形如图3②所示的图案，第3次拼成形如图3③所示的图案，第4次拼成形如图3④所示的图案，……，按照这样的规律拼下去，第n次拼成的图案共有地砖________块．
；当n为大于1的偶数时，Sn＝－Sn－1－1)，
Sn－11
图3
6．(2024·安顺)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图4所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点Bn的坐标是________________(n为正整数)．
图4
7．(2024·龙东)如图5，已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1；再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2；再以等边三角形AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边三角形AB3C3；…，记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3，如此下去，则Sn＝________________.
图5
8．(2024·威海)如图6，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为(1,2)，以点O为圆1
心，以OA1的长为半径画弧，交直线y＝x于点B1；过点B1作B1A2∥y轴，交
21
直线y＝2x于点A2，以O为圆心，以OA2的长为半径画弧，交直线y＝x于点
2B2；过点B2作B2A3∥y轴，交直线y＝2x于点A3，以点O为圆心，以OA3的长1
为半径画弧，交直线y＝x于点B3；过点B3作B3A4∥y轴，交直线y＝2x于点
21
A4，以点O为圆心，以OA4的长为半径画弧，交直线y＝x于点B4，……，按
2照如此规律进行下去，点B2 018的坐标为________________．
图6
9．(2024·益阳改编)观察以下等式： ①3－22＝(2－1)2； ②5－26＝(3－2)2； ③7－212＝(4－3)2； ……
(1)请你写出第6个等式：_____________________________________； (2)写出你猜想第n个等式：__________________________________(用含n的等式表示)，并证明．
10．(2017·安徽)【阅读理解】 我们知道，1＋2＋3＋…＋n＝少呢？
在如图7①所示的三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2＋2，即22，……，第n行n个圆圈中数的和为n＋n＋…＋n个nn，即
n2.这样，该三角形数阵中共有
n?n＋1?
个圆圈，所有圆圈中数的和为12＋22＋2n?n＋1?
，那么12＋22＋32＋…＋n2的结果等于多2
32＋…＋n2.
①
② 图7
【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图7②所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第(n－1)行的第一个圆圈中的数分别为n－1，2，n)，发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________________．由此可得，这三
个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(12＋22＋32＋…＋n2)＝________________.因此，12＋22＋32＋…＋n2＝________________. 【解决问题】
12＋22＋32＋…＋2 0172
根据以上发现，计算：.
1＋2＋3＋…＋2 017
11．(2024·河南)(1)问题发现：
如图8①，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M.填空： AC
①BD的值为________； ②∠AMB的度数为________． (2)类比探究：
如图8②，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝AC30°，连接AC，交BD的延长线于点M.求BD的值及∠AMB的度数，并说明理由．
(3)拓展延伸：
在(2)的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M.若OD＝1，OB＝7，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
① ②
图8
专题3 规律探究问题
