2.5 逆命题和逆定理
A组
1．下列说法中，正确的是(A) A． 每一个命题都有逆命题
B． 假命题的逆命题一定是假命题 C． 每一个定理都有逆定理 D． 假命题没有逆命题
2．下列命题的逆命题为真命题的是(C) A． 直角都相等
B． 钝角都小于180°
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C． 若x＋y＝0，则x＝y＝0 D． 同位角相等
3．下列定理中，有逆定理的是(D) A． 对顶角相等 B． 同角的余角相等
C． 全等三角形的对应角相等 D． 在一个三角形中，等边对等角
(第4题)
4．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(A) A． AB垂直平分CD B． CD垂直平分AB
C． AB与CD互相垂直平分 D． CD平分∠ACB
5．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假，若是假命题，请举出反例． (1)若x＝y＝0，则x＋y＝0． (2)等腰三角形的两个底角相等．
【解】 (1)逆命题：若x＋y＝0，则x＝y＝0．这个逆命题是假命题．反例：当x＝－1，y＝1时，x＋y＝0，但x≠0，y≠0．
(2)逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形．这个逆命题是真命题． 6．写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理． (1)相等的角是内错角．
(2)两直线平行， 同旁内角互补．
【解】 (1)“相等的角是内错角”的逆命题为“内错角相等”，原命题与逆命题都是假命题，不是互逆定理．
(2)“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为“同旁内角互补，两直线平行”，原命题和
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逆命题是互逆定理．
(第7题)
7．利用线段垂直平分线性质定理及其逆定理证明以下命题． 已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：EB＝EC． 【解】 连结BC．
∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上． ∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上．
∴AD是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线)． 又∵点E在AD上，∴EB＝EC．
B组
8．写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．
【解】 逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直． 原命题是假命题．
反例：如解图①，∠CAD的两边与∠EBF的两边分别垂直，但∠CAD＝45°，∠EBF＝135°，即∠CAD≠∠EBF．
(第8题解)
逆命题是假命题．
反例：如解图②，∠CAD＝∠EBF，但显然AC与BE，BF都不垂直．
9．写出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，并证明该逆命题是真命题．
【解】 逆命题：如果一个三角形一边上的中点到另两边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如解图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF．
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(第9题解)
求证：△ABC为等腰三角形． 证明：连结AD． ∵D是BC的中点， ∴S△ABD＝S△ACD．
∵DE⊥AB，DF⊥AC， 1
∴S△ABD＝AB·DE，
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S△ACD＝AC·DF．
2
又∵DE＝DF，∴AB＝AC， ∴△ABC为等腰三角形．
10．举反例说明定理“全等三角形的面积相等”没有逆定理．
【解】 逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等． 反例：如解图所示，l1∥l2，△ABC和△BCD同底等高，
∴△ABC的面积等于△BCD的面积，但△ABC和△BCD不全等． 故该定理没有逆定理．
(第10题解)
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11．已知命题“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”，写出它的逆命题，判断该逆命题的真假，并证明．
【解】 逆命题：一边上的中线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．是真命题．
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(第11题解)
已知：如解图，在△ABC中，BD＝CD，AD平分∠BAC． 求证：△ABC是等腰三角形．
证明：延长AD至点E，使DE＝AD，连结BE，CE． ∵BD＝CD，DE＝DA，∠BDE＝∠CDA， ∴△BDE≌△CDA(SAS)． ∴BE＝CA，∠BED＝∠CAD．
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD．
∴∠BAD＝∠BED．∴AB＝BE．∴AB＝AC． ∴△ABC是等腰三角形．
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(优选)2024八年级数学上册第2章特殊三角形2.5逆命题和逆定理练习(新版)浙教版
