名校真题测试卷数论篇
时间：15分钟 满分5分
姓名 __________ 测试成绩
1 （13年人大附中考题）
有 ____ 个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每 个数字都能整除它本身。
2 （ 13年101中学考题）
9倍，问
这个两位数
如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的 是 。
3 （13年首师附中考题） + + —
1 202 505
21 2121 212121
4
13131313
21212121
（04年人大附中考题）
=乙+乙=丙乂 135.那么甲最小是
甲、乙、丙代表互不相同的 3个正整数，并且满足：甲X甲
5
（02年人大附中考题）
下列数不是八进制数的是 （ ）
A、 125 B 、 126 C 、 127 D 、 128
【附答案】 1
【解】：6
2 【解】：设原来数为ab,这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9X （10a+b）, 所以我们可以知道 5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为 45。
1
3
【解】：周期性数字，每个数约分后为
+
2
一 +
5 13
+
21 21 21 21
=1
4 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙 +乙），这样我们
5 【解】：八进制数是由除以 8的余数得来的，不可能出现 8，所以答案是D。
分解135=5X 3X 3 X 3，所以丙最小应该是 2X 2X 5 X 3，所以甲最小是：2 X 3X 3 X 5=90。
5 【解】：八进制数是由除以 8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D。
小升初专项训练 数论篇(一)
、小升初考试热点及命题方向
数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较 多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除 性，同余，奇数与偶数，质数与合数,约数与倍数，整数的分解与分拆等。作为一个理论性比 较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜 有着密切的联系，其重要性是不言而喻的。
，不定方程等内容
二、 考点预测
的小升初考试将继续以填空和大题形式考查数论，命题的方向可能偏向小题考察单方面的 知识点，大题则需综合运用数的整除，质数与合数，约数倍数以及整数的分拆等方法，希 望同学们全面掌握数论的几大知识点，能否在考试中取得高分解出数论的压轴大题是关键。
三、 基本公式
1) 已知 b|c，a|c， 则［a，b］|c， 特别地，若(a，b)=1,则有 ab|c。
［讲解练习］:若3a75b能被72整除，问a= __ ，b= __ .(迎春杯试题) 2) 已知 c|ab , (b，c)=1，则 c|a。
3) 唯一分解定理：任何一个大于 1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即
n= pl a1 x p2 a2 x... Xp kak (#)
其中p1 ［讲解练习］:连续3的自然树的积为210,求这三个数为 _____ 4) . 约数个数定理：设自然数 n的质因子分解式如(#) 那么 n的约数个数为 d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) 所有约数和：(1+P1+P12+…p1a1 )(1+P2+P22+…p2a2 )???( 1+Pk+Pk2+…pk ak) ［讲解练习］:1996不同的质因数有 __ 个，它们的和是 ____ 。( 1996年小学数学奥林匹 克初赛) 5) 用［a,b］表示a和b的最小公倍数，(a,b)表示a和b的最大公约数，那么有 ab=［a,b］ x （a,b）。 ［讲解练习］:两个数的积为2646，最小公倍数为126，问这两个数的和为—。 刊赛第10题） 6） 自然数是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等数整除的判别方法。 ［讲解练习］:3aa1能被9整除，问a=_ .（美国长岛数学竞赛第三试第 7） 平方数的总结： 小生初四个考点：1:平方差 A 2 -B 2 = （A+B）（ A-B），其中我们还得注意 A+B A-B 同奇偶性。 ［讲解练习］:82 -7 2 +6 2 -5 2 +42 -3 2 +22 -1 2 = _____ 。 2 :约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。 约数个数为3的是质数的平方。 ［讲解练习］:1?100中约数个数为奇数个的所有数和为 __ 3 :质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。 ［讲解练习］:a与45的乘积一个完全平方数，问 a最小是. 4:平方和。 8）十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。 9）周期性数字： abab=ab x 101 ［讲解练习］:2005 x 20062006-2006 x 20052005= 公式需牢记 做题有信心! 3题） （迎春杯 四、典型例题解析 1数的整除 【例\（★★★）将4个不同的数字排在一起， 可以组成24个不同的四位数（4 x 3X 2 X仁24）。 将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是 请求出这24个四位数中最大的一个。 【解】：不妨设这4个数字分别是a>b>c>d 那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数，因此b=0或5，注意到b>c>d,所以b=5; 从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数，cv b=5，c=4或2 从小到大的第二十个是 adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间，所以a=d+4; 因为a>b,所以a至少是6,那么d最小是2，所以c就只能是4。而如果d=2,那么abdc的末2位 是24，它是4的倍数，和条件矛盾。因此 d=3,从而a=d+4=3+4=7。 这24个四位数中最大的一个显然是 abcd,我们求得了 a=7,b=5,c=4,d=3 所以这24个四位数中最大的一个是 7543。 5的倍数；按从大到小排列的话，第 3000-4000之间。 二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在 【例？】（★★ ★） 一个5位数，它的各个位数字和为 43,且能被11整除，求所有满足条件 的5位数？ ［思路］:现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被 11整除，但我们发 现被11整除性质的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入 手 【解】：5位数数字和最大的为 9 X 5=45，这样43的可能性只有9, 9, 9, 9 , 7或9, 9, 9, 8, &这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有 99979, 97999, 98989符合条件。 【例31（^★★）由1, 3, 4, 5, 7, 8这六个数字所组成的六位数中，能被 大的数是多少？ 【解】：各位数字和为 1+3+4+5+7+8=28 所以偶数位和奇数位上数字和均为 那么第3位一定是5,第5位为1 该数最大为 875413。 ［拓展］:一个三位数，它由 0, 1 , 2, 7, 8组成，且它能被 9整除，问满足条件的总共有 几个？ 14 为了使得该数最大，首位必须是 8,第2位是7, 14-8=6 11整除的最 【例4】（★★） 一个学校参加兴趣活动的学生不到 4/7 ，女同学的人数超过总数的 【来源】：12年理工附入学测试题 100人，其中男同学人数超过总数的 2/5。问男女生各多少人？ 【解】：男生超过总数的 4/7就是说女生少个总数的 3/7，这样女生的范围在 2/5?3/7之 间，同理可得男生在 4/7?3/5之间，这样把分数扩大， 我们可得女生人数在 28/70?30/70 之间，所以只能是 29人，这样男生为 41人。 2 质数与合数（分解质因数） 【例51（^^^） 2005 X 684X 375 X □最后4位都是0,请问□里最小是几 ？ 【解】：先分析1 X 2X 3X 4XX 10的积的末尾共有多少个 0。由于分解出2的个数比5多，这 样我们可以得出就看所有数字中能分解出多少个 5这个质因数。而能分解出 5的一 定是5的倍数。注意：5的倍数能分解一个5, 25的倍数分解出2个5, 125的倍数能 分解出3个5……最终转化成计数问题，如 5的倍数有［10/5］=2个。 2005=5X 401 684=2 X 2X 171 375=3 X 5 X 5 X 5前三个数里有2个质因子2, 4个质因子5，要使得乘积的最后4位都
小升初数学专项训练+典型例题分析-数论篇(教师版)(附答案)
