“等差数列的前n项和”教案、教案说明及点评
教案
一、教材分析 ● 教学内容
《等差数列前n项和》现行高中教材第三章第三节“等差数列前n项和”的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用。
● 地位与作用
本节对“等差数列前n 项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其学习平台是学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。
二、学情分析
● 知识基础：高一年级学生已掌握了函数，数列等有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和。
● 认知水平与能力：高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。
● 任教班级学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地应用数形结合的方法解决问题，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。
三、目标分析 1、教学目标
依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：
● 知识技能
(1)掌握等差数列前n项和公式;
(2)掌握等差数列前n项和公式的推导过程; (3)会简单运用等差数列的前n项和公式。 ● 数学思考
(1)通过对等差数列前n项和公式的推导过程,渗透倒序相加求和的数学方法； (2)通过公式的运用体会方程的思想；
(3)通过运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力。 ● 解决问题
创设由探索1+2+3+……+100的和,推广到探索一般的等差数列前n项和
sn?a1?a2?a3?......?an的求和公式的情景,使学生进一步体会从特殊到一般的数学
研究方法, 并使学生在反馈练习的过程中，进一步提高问题解决的能力。 ● 情感态度
结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化。
2、教学重点、难点 ● 重点
等差数列前n项和公式的推导和应用。 ● 难点
等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。
● 重、难点解决的方法策略
本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。
四、教学模式与教法、学法
本课采用“探究——发现”教学模式。
教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导。 学生的学法突出探究、发现与交流。
五、过程设计
结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下： 创设情景 公式应用与 探究等差数列 图片欣赏 数形结合 提出问题 议练活动（1） 前n项和公式 （2分钟） （5分钟） （18分钟） 新课引入 类比化归
前后呼应 公式应用 公式应用与 归纳总结 公式的认识议练活动（2） 与理解 （9分钟） 2分钟） （（4分钟） 前后呼应 知识回顾 五、教学过程 教学 教 师 活 动 环节 创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图片 ——泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景 新点，传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有课大小相同的宝石，共有100层，同时提出第引一个问题：你能计算出这个图案一共花了多入少颗宝石吗？也即计算1+2+3+…..+100=？ 问题2：何老师按揭买房,向银行贷款25万元，采取等额本金的还款方式，即每月还款额比上月减少一定的数额。2024年1月，我第一次向银行还款2348元，以后每月比上月的还款额减少5元，若以2024年1月银行贷款利率为基准利率,那么到2026年12月最后一次还款为止，何老师连本带利一共还款多少万元？ 首先认识一位伟大的数学家——高斯， 然后提出问题：高斯是如何快速计算1+2+3 +4+…..+100？ 设等差数列{an}前n项和为Sn ,则 Sn?a1?a2???an?1?an 学 生 活 动 活 动 说 明 模 型 直 观 用实际生活引现实模型： ① 图片欣赏 ② 生活实例 入新 课。 学生：1+100=101，高斯求2+99=101，…..50+51=101，所以原式=50?（1+101）和众所=5050 周知， 探 索 公 式 问题1 老师：利用高斯算法如何求等差数列的前n项和公式？ 老师：但是否刚好配对成功呢？ （1） n为偶数时： Sn?a1???an?an???an?122 ?S?n(a?a)n1n 2（2） n为奇数时： 1???an?1?an?1?an?1???anSn?a?1?1222 老师：那么该如何解决落单的an?1呢？ 2n?1S?(a1?an)?an?1 n22 an?1?an?12 ?n?1(a?a)?21n22 学生：将首末两项配对，第学生能二项与倒数第二项配对，以快速解此类推，每一对的和都相答。 a1?an。 这里等，并且都等于 用到了 等差数学生：不一定，需要对n取列脚标值的奇偶进行讨论。 和性质 从高当n为偶数时刚好配斯算法对成功。 出发， 对n进 行讨论 寻找求 和公式 当n为奇数时，中间的思路自一项an?1落单了。 然，学2生容易 想到。 对中 间项 （可能部分学生在此会遇an?12的到困难，老师做适当的引导。） 解决办学生：观察an?1的脚标与 法的过2a1?an脚标的关系，即： 程中， 进一步an?1?an?1 a?an让学生2 n?1?2a?1体会研22 2究数列 就是对 脚标数 学的研 学生观察动画演示，不究。 难发现用倒置的思想来解 决此问题。 倒序相 加求和（由上一问题的解决，学生法是重容易想到倒序相加求和要的数法。） 学思 学生：利用倒序相加求和想，为法。 探 n?(a1?an)2同过对n取值的讨论，得到了前nn项和求和公式： Sn?(a1?an)2 但是对n讨论麻烦了，能否有更好的方法求前n项和公式呢？接下来给出实际问题：伐木工人是如何快速计算堆放在木场的木头根数呢？ 问题2：如何用倒置的思想求等差数列前n项和呢？ 方法一： Sn?a1?a2???an?1?an Sn?an?an?1???a2?a1 两式相加得： 2S?n(a?a)n1n索 议 练 活 动 n?S?(a1?an) n2方法二 同样利用倒序相加求和法，教材做了如下处理： Sn ?a1?(a1?d)?...?[a1?(n?1)d] Sn ?an?(an?d) ?... ? [an?(n?1)d] 两式相加得： 2S?n(a?a)n1n n 公式1：Sn?(a1?an)2 引导学生带入等差数列的通项公式，换an整理得到公式2。 掉 n(n?1)：Sn?na1?d 公式22 例1：计算 （1）1+2+3+…+n （2）1+3+5+…+(2n-1) （3）2+4+6+…+2n （4）1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n 教师通过动画演示给(1),(2)问一个直观的解释。 将Sn中的每一项用等差数列的通项公式进行巧妙的改写，在倒序相加求和时，每一组中的d都被正负抵消了。 学生类比方法一与方法二的联系与区别。 学生自己阅读教材，体会教材的解法是如何运用求和公式。 观察多媒体课件演示。 变式练习：课前提出的房贷问题。 解:由已知每月还款数成等差数列,设为 ?an?： a1?2348,d??5,n?240 n(n?1) d ?Sn?na1?学生：要求总还款额实际就2 是对一个等差数列求和。 240?239 ?240?2348??(?5) 2 ?420120(元) 问题3：能否给求和公式一个几何解释呢？ 学生：将求和公式与梯形面 教师提示将求和公式与梯形建立联系。 积公式建立联系，而梯形面 积公式的推导也正是利用 了倒置的思想。 以后数列求和的学习做好了铺垫。 在等差数列前n项和公式的推导过程中，通过问题获得知识，让学生经历“发现问题——提出问题——解决问题”的过程 通过对实际问题的解决让学生认识到数学来源于生活，同时又服务于生活 认 识 公 式 认 识 公 式 议 练 n(a1?an)公式1:Sn?2a1 an an a1 学生：同样将公式2与梯形面积公式建立联系。用“割”的思想将梯形分做一个平行四边形和一个三角形，而梯形面积就是这两部分面积之和。 ． 利用数形结合的思想，使学生对两个公式有直观的认识，体会数学的图形语言。 公式2：Sn?na1?n(n?1)d2 a1 n (n?1)d an?a1?(n?1)d 剖析公式： n(a1?an)公式 1Sn?2 n(n?1)公式d 2Sn?na1?2 通项公式：an?a1?(n?1)d 教师提示，从方程中量的关系入手。 学生讨论：公式中一共含有 五个量，根据三个公式之间 的联系，由方程的思想，知 三可求二。 例2在解决了例1的基础上，由浅入深，深化了对公式的理解，体现了方程的思想。 a1 学生讨论分析题目所含的 已知量，选取了公式2进行例2 等差数列-10，-6，-2，2， …前多运算，利用了方程的思想。少项的和为54？ 需要注意的是学生可能会 解：设题中的等差数列是?an?，前n项和把公差认为是-4，以及解得n的值后未把n=-3舍去。 为?Sn?： 则a1＝－10，d＝－6－（－10）＝4
高中数学2.3 等差数列的前n项和 教案3人教版必修5
