2024年数学中考压轴题专项训练：反比例函数的综合
1．已知一次函数y＝kx﹣（2k+1）的图象与x轴和y轴分别交于A、B两点，与反比例函数
y＝﹣的图象分别交于C、D两点．
（1）如图1，当k＝1，点P在线段AB上（不与点A、B重合）时，过点P作x轴和y轴的垂线，垂足为M、N．当矩形OMPN的面积为2时，求出点P的位置；
（2）如图2，当k＝1时，在x轴上是否存在点E，使得以A、B、E为顶点的三角形与△
BOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若某个等腰三角形的一条边长为5，另两条边长恰好是两个函数图象的交点横坐标，求k的值．
解：（1）当k＝1，则一次函数解析式为：y＝x﹣3，反比例函数解析式为：y＝﹣， ∵点P在线段AB上
∴设点P（a，a﹣3），a＞0，a﹣3＜0， ∴PN＝a，PM＝3﹣a， ∵矩形OMPN的面积为2， ∴a×（3﹣a）＝2， ∴a＝1或2，
∴点P（1，﹣2）或（2，﹣1）
（2）∵一次函数y＝x﹣3与x轴和y轴分别交于A、B两点， ∴点A（3，0），点B（0，﹣3） ∴OA＝3＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，AB＝3∵x﹣3＝﹣ ∴x＝1或2，
，
∴点C（1，﹣2），点D（2，﹣1） ∴BC＝
设点E（x，0），
∵以A、B、E为顶点的三角形与△BOC相似，且∠CBO＝∠BAE＝45°， ∴∴
，或，或
， ＝
，
＝
，
∴x＝1，或x＝﹣6， ∴点E（1，0）或（﹣6，0） （3）∵﹣∴x＝1，x＝
＝kx﹣（2k+1）， ，
，
∴两个函数图象的交点横坐标分别为1，
∵某个等腰三角形的一条边长为5，另两条边长恰好是两个函数图象的交点横坐标， ∴1＝∴k＝
2．如图，已知直线y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，与x轴交于C点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，一次函数值大于反比例函数值？ （3）点P是y＝（x＞0）图象上的一个动点，作PQ⊥x轴于Q点，连接PC，当S△CPQ＝S△CAO时，求点P的坐标．
，或5＝
解：（1）把A（1，4）代入y＝（x＞0），得m＝1×4＝4， ∴反比例函数为y＝；
把A（1，4）和B（4，1）代入y＝kx+b得解得：
，
，
∴一次函数为y＝﹣x+5．
（2）根据图象得：当1＜x＜4时，一次函数值大于反比例函数值； （3）设P（m，），
由一次函数y＝﹣x+5可知C（5，0）， ∴S△CAO＝
∵S△CPQ＝S△CAO， ∴S△CPQ＝5， ∴|5﹣m|?＝5， 解得m＝∴P（
3．如图，直线y＝kx+b（b＞0）与抛物线y＝x2相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，于y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+8＝0． （1）求b的值．
（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数y＝
的图象上．
，或m＝﹣）．
（舍去）， ＝10，
（1）解：∵直线y＝kx+b（b＞0）与x轴正半轴相交于点D，于y轴相交于点C， ∴D（0，b），C（﹣，0） ∴由题意得OD＝b，OC＝﹣， ∴S＝∴k?（
）+8＝0，
∴b＝4（b＞0）； （2）证明：∵∴
∴x1?x2＝﹣16 ∴
∴点（y1，y2）在反比例函数y＝
，
的图象上．
，
，
4．如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接
OA．
（1）已知△AOB的面积是3，求k的值；
（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值．
解：（1）∵双曲线y＝上的一点A（m，n），过点A作AB⊥x轴于点B， ∴AB＝n，OB＝m， 又∵△AOB的面积是3， ∴mn＝3， ∴mn＝6，
∵点A在双曲线y＝上， ∴k＝mn＝6；
（2）如图，延长DC交x轴于E， 由旋转可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°， ∴AD＝AB＝n，CD＝OB＝m，∠ADC＝90°， ∵AB⊥x轴， ∴∠ABE＝90°， ∴四边形ABED是矩形， ∴∠DEB＝90°，
∴DE＝AB＝n，CE＝n﹣m，OE＝m+n， ∴C（m+n，n﹣m）， ∵点A，C都在双曲线上， ∴mn＝（m+n）（n﹣m）， 即m2+mn﹣n2＝0， 方程两边同时除以n2，得
+﹣1＝0， 解得＝∵n＞m＞0， ∴＝
．
，
5．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和实数k（k＞0），给出如下定义：当ka+b＞0时，将以点P为圆心，ka+b为半径的圆，称为点P的k倍相关圆．
例如，在如图1中，点P（1，1）的1倍相关圆为以点P为圆心，2为半径的圆．
（1）在点P1（2，1），P2（1，﹣3）中，存在1倍相关圆的点是 P1 ，该点的1倍相关圆半径为 3 ．
（2）如图2，若M是x轴正半轴上的动点，点N在第一象限内，且满足∠MON＝30°，判断直线ON与点M的倍相关圆的位置关系，并证明．
（3）如图3，已知点A的（0，3），B（1，m），反比例函数y＝的图象经过点B，直线
l与直线AB关于y轴对称．
①若点C在直线l上，则点C的3倍相关圆的半径为 3 ．
②点D在直线AB上，点D的倍相关圆的半径为R，若点D在运动过程中，以点D为圆心，hR为半径的圆与反比例函数y＝的图象最多有两个公共点，直接写出h的最大值．
解：（1）由题意知，k＝1， 针对于P1（2，1），a＝2，b＝1， ∴ka+b＝2+1＝3＞0，
∴点P1（2，1）的1倍相关圆为以点P为圆心，3为半径的圆， 针对于P2（1，﹣3），a＝1，b＝﹣3， ∴ka+b＝1﹣3＝﹣2＜0，
∴点P2（1，﹣3）不存在1倍相关圆 故答案为：P1；3；
（2）如图2中，结论：直线ON与点M的倍相关圆的位置关系是相切．
理由：设点M的坐标为（n，0），过M点作MP⊥ON于点P，
∴点M的倍相关圆半径为n． ∴OM＝n．
∵MP⊥ON，∴∠OPM＝90°，∵∠MON＝30°， ∴MP＝OM＝n，
∴点M的倍相关圆的半径为MP， ∴直线ON与点M的倍相关圆相切；
（3）①如图3中，记直线AB与x轴的交点为E，直线l与x轴的交点为F，
∵B（1，m）在反比例函数y＝的图象上， ∴m＝6， ∴B（1，6） ∵A（0，3），
∴直线AB的解析式为y＝3x+3，令y＝0，则3x+3＝0， ∴x＝﹣1， ∴E（﹣1，0），
∵直线l是直线AB关于y轴对称， ∴点F与点E关于y轴对称， ∴F（1，0），
∴直线l的解析式为y＝﹣3x+3， ∵点C在直线l上，
∴设C（c，﹣3c+3），由题意知，k＝3， ∴3c+（﹣3c+3）＝3，
∴点C的3倍相关圆的半径是3， 故答案为：3；
②∵点D在直线AB上，设D（d，3d+3），由题意知，k＝， ∴R＝d+（3d+3）＝∴d＞﹣
．
d+3＞0，
6．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝
的图象交于点M，且B为AM的中点．
的表达式；
图象于点C，连接MC，AC．求
（1）求反比例函数y＝
（2）过B做x轴的平行线，交反比例函数y＝△AMC的面积．
解：（1）过点M作MH⊥y轴，垂足为H． ∵AB＝MB，∠MHB＝∠AOB，∠MBH＝∠ABO， ∴△ABO≌△MBH（AAS），
∴BH＝BO，MH＝AO，
∵直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴当y＝0时，x＝﹣1．当x＝0时，y＝2． ∴A（﹣1，0），B（0，2）． ∴BH＝BO＝2，MH＝AO＝1． ∴M（1，4）． 把M（1，4）代入
中，得k＝4．
．
∴反比例函数的解析式为（2）∵AB＝BM， ∴S△ABC＝S△BCM．
∵点C在反比例函数图象上，且BC∥x轴， ∴点C纵坐标为2． 把y＝2代入
，得x＝2．
∴点C坐标为（2，2）， ∴
∴S△AMC＝4．
，
7．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），正方形OABC的顶点B在函数y＝（k≠0，x＜0）的图象上，直线l：y＝﹣x+b与函数y＝（k≠0，x＜0）的图象交于点D，与x轴交于点E． （1）求k的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当一次函数y＝﹣x+b的图象经过点A时，直接写出△DCE内的整点的坐标； ②若△DCE内的整点个数恰有6个，结合图象，求b的取值范围．
解：（1）依题意知：B（﹣2，2）， ∴反比例函数解析式为y＝﹣． ∴k的值为﹣4；
（2）①∵一次函数y＝﹣x+b的图象经过点A， ∴b＝2，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2， 解∴D（1﹣
得，，1+
，），E（2，0），
，
∴△DCE内的整点的坐标为（﹣1，1），（﹣1，2），（0，1）；
②当b＝2时，△DCE内有3个整点，当b＝3时，△DCE内有6个整点， ∴b的取值范围是2＜b≤3．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，6）． （1）求k的值；
（2）已知点P（a，﹣2a）（a＜0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝﹣2x﹣2于点M，交函数y＝（x＜0）的图象于点N． ①当a＝﹣1时，求线段PM和PN的长；
②若PN≥2PM，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
解：（1）∵函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，6）． ∴k＝﹣1×6＝﹣6．
（2）①当a＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，2）．
∵直线y＝﹣2x﹣2，反比例函数的解析式为y＝﹣，PN∥x轴， ∴把y＝2代入y＝﹣2x﹣2，求得x＝﹣2，代入y＝﹣求得x＝﹣3， ∴M（﹣2，2），N（﹣3，2）， ∴PM＝1，PN＝2．
②∵当a＝﹣1或a＝﹣3时，PN＝2PM，
∴根据图象PN≥2PM，a的取值范围为a≤﹣3或﹣1≤a＜0．
9．如图，已知点D在反比例函数y＝的图象上，过点D作DB⊥y轴，垂足为B（0，3），直线y＝kx+b经过点A（5，0），与y轴交于点C，且BD＝OC，OC：OA＝2：5． （1）求反比例函数y＝和一次函数y＝kx+b的表达式； （2）连结AD，求∠DAC的正弦值．
解：（1）∵BD＝OC，OC：OA＝2：5，点A（5，0），点B（0，3）， ∴OA＝5，OC＝BD＝2，OB＝3，
又∵点C在y轴负半轴，点D在第二象限，
∴点C的坐标为（0，﹣2），点D的坐标为（﹣2，3）． ∵点D（﹣2，3）在反比例函数∴a＝﹣2×3＝﹣6， ∴反比例函数的表达式为
．
，
的图象上，
将A（5，0）、C（0，﹣2）代入y＝kx+b，得
解得：，
∴一次函数的表达式为．
（2）∵OA＝BC＝5，OC＝BD＝2，∠DBC＝∠AOC＝90°， ∴△BDC≌△OCA（SAS）， ∴∠DCB＝∠OAC，DC＝CA， ∴∠DCA＝90°，
∴△DCA是等腰直角三角形， ∴∠DAC＝45°， ∴
．
10．如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，
OB＝4．连接OA、AB，且OA＝AB＝2
（1）求k的值；
．
（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C． ①连接AC，求△ABC的面积； ②在图上连接OC交AB于点D，求
的值．
解：（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．
∵OA＝AB，AH⊥OB， ∴OH＝BH＝OB＝2， ∴AH＝
＝
＝6，
∴点A的坐标为（2，6）．
∵A为反比例函数y＝图象上的一点， ∴k＝2×6＝12；
（2）①∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝∴BC＝
＝3．
上，
∵AH⊥OB， ∴AH∥BC，
∴点A到BC的距离＝BH＝2， ∴S△ABC＝×3×2＝3；
②∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝∴BC＝
＝3．
上，
∵AH∥BC，OH＝BH， ∴MH＝BC＝， ∴AM＝AH﹣MH＝． ∵AM∥BC， ∴△ADM∽△BDC， ∴
＝．
11．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+1的图象相交于点A（2，3）和点B． （1）求反比例函数的解析式和点B的坐标； （2）连接OA，OB，求△AOB的面积．
（3）结合图象，请直接写出使反比例函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围．
解：（1）把A（2，3）代入∴k＝6．
∴反比例函数的解析式为
得，
．
联立解得或，
∴点B的坐标为（﹣3，﹣2）． （2）设直线AB与y轴交于点C． 可知C点的坐标为（0，1）， ∴OC＝1．
∴．
（3）当﹣3＜x＜0或x＞2时，反比例函数值小于一次函数值．
12．如图1，直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点，根据中心对称性可以得知OA＝OB． （1）如图2，直线y＝2x+1与双曲线y＝交于A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，试证明：AC＝BD；
（2）如图3，直线y＝ax+b与双曲线y＝交于A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，试问：AC＝BD还成立吗？
（3）如果直线y＝x+3与双曲线y＝交于A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，若DB+DC≤5
，求出k的取值范围．
解：（1）如图1中，作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，连接EF，AF，BE．
∵AE∥y轴， ∴S△AOE＝S△AEF＝， ∵BF∥x轴， ∴S△BEF＝S△OBF＝， ∴S△AEF＝S△BEF， ∴AB∥EF，
∴四边形ACFE，四边形BDEF都是平行四边形， ∴AC＝EF，BD＝EF， ∴AC＝BD．
（2）如图1中，如图1中，作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，连接EF，AF，BE． ∵AE∥y轴， ∴S△AOE＝S△AEF＝， ∵BF∥x轴， ∴S△BEF＝S△OBF＝， ∴S△AEF＝S△BEF， ∴AB∥EF，
∴四边形ACFE，四边形BDEF都是平行四边形， ∴AC＝EF，BD＝EF， ∴AC＝BD．
（3）如图2中，
∵直线y＝x+3与坐标轴交于C，D， ∴C（0，3），D（3，0）， ∴OC＝OD＝3，CD＝3∵CD+BD≤5∴BD≤2当BD＝2
，
，
，
时，∵∠CDO＝45°，
∴B（1，2），此时k＝2，
观察图象可知，当k≤2时，CD+BD≤513．综合与探究
如图1，平面直角坐标系中，直线l：y＝2x+4分别与x轴、y轴交于点A，B．双曲线y＝（x＞0）与直线l交于点E（n，6）． （1）求k的值；
（2）在图1中以线段AB为边作矩形ABCD，使顶点C在第一象限、顶点D在y轴负半轴上．线段CD交x轴于点G．直接写出点A，D，G的坐标；
（3）如图2，在（2）题的条件下，已知点P是双曲线y＝（x＞0）上的一个动点，过点P作x轴的平行线分别交线段AB，CD于点M，N．
请从下列A，B两组题中任选一组题作答．我选择 ① 组题．
，
A．①当四边形AGNM的面积为5时，求点P的坐标；
②在①的条件下，连接PB，PD．坐标平面内是否存在点Q（不与点P重合），使以B，D，
Q为顶点的三角形与△PBD全等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． B．①当四边形AGNM成为菱形时，求点P的坐标；
②在①的条件下，连接PB，PD．坐标平面内是否存在点Q（不与点P重合），使以B，D，
Q为顶点的三角形与△PBD全等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）由已知可得A（﹣2，0），B（0，4），E（1，6）， ∴k＝6； （2）∵AB⊥BC，
∴BC的解析式为y＝﹣x+4，
联立，
∴C（2，3）， ∵CD＝AB＝2
，
∴D（0，﹣1），
∴CD的解析式为y＝2x﹣1， ∴G（，0）； （3）A①设P（m，∵MN∥x轴， ∴M（
﹣2，
），N（
+，
），
），
∴MN＝，
∵四边形AGNM的面积为5， ∴×
＝5，
∴m＝3， ∴P（3，2）；
②Q（3，1）、Q（﹣3，1）、Q（﹣3，2）时B，D，Q为顶点的三角形与△PBD全等．
B①∵四边形AGNM成为菱形， MN＝AM，
∴＝
∴m＝∴P（②Q（﹣
， ，，）； ）、Q（
，3﹣
）、Q（﹣
，3﹣
）时B，D，Q为顶点的
三角形与△PBD全等．
14．如图，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，已知点A（3，4），B（0，﹣2），点C是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D．
（1）求反比例函数的解析式； （2）
，求△ABC的面积；
（3）在点C运动的过程中，是否存在点C，使BC＝AC？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4）， ∴k＝xy＝3×4＝12， ∴反比例函数的解析式为：y＝
；
（2）作AE⊥y轴于点E，交CD于点F， 则BE∥CD，
∴＝＝，
∵点A的坐标为（3，4）， ∴EF＝1，FA＝2， ∴点F的横坐标为1， ∴点C的坐标为（1，12）， 设直线AB的解析式为：y＝kx+b， 则解得，
， ，
∴直线AB的解析式为：y＝2x﹣2， 则点D的坐标为：（1，0），即CD＝12， ∴△ABC的面积＝×12×1+×12×2＝18； （3）不存在，
理由如下：设点C的坐标为（m，∵BC＝AC， ∴m2+（
+2）2＝（3﹣m）2+（
﹣4）2， ），
整理得，6m2﹣21m+144＝0， △＝212﹣4×6×144＜0， 则此方程无解， ∴点C不存在．
15．如图，在平面直角坐标系第一象限中，已知点A坐标为（1，0），点D坐标为（1，3），点G坐标为（1，1），动点E从点G出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点D方向运动，与此同时，x轴上动点B从点A出发，以相同的速度向右运动，两动点运动时间为t（0＜t＜2），以AD、AB分别为边作矩形ABCD，过点E作双曲线交线段BC于点F，作CD中点M，连接BE、EF、EM、FM． （1）当t＝1时，求点F的坐标． （2）若BE平分∠AEF，则t的值为多少？ （3）若∠EMF为直角，则t的值为多少？
解：（1）当t＝1时， EG＝1×1＝1＝AB ∴点E（1，2） 设双曲线解析式：y＝ ∴k＝1×2＝2
∴双曲线解析式：y＝ ∵OB＝OA+AB＝2， ∴当x＝2时，y＝1， ∴点F（2，1） （2）∵EG＝AB＝t，
∴点E（1，1+t），点B（1+t，0） 设双曲线解析式：y＝ ∴m＝1+t
∴双曲线解析式：y＝当x＝1+t时，y＝1 ∴点F（1+t，1） ∵BE平分∠AEF ∴∠AEB＝∠BEF， ∵AD∥BC
∴∠AEB＝∠EBF＝∠BEF
∴EF＝BF＝1 ∴∴t＝
＝
t＝1
（3）延长EM，BC交于点N，
∵EG＝AB＝t，
∴点E（1，1+t），点B（1+t，0） ∴DE＝AD﹣AE＝3﹣（1+t）＝2﹣t， 设双曲线解析式：y＝ ∴n＝1+t
∴双曲线解析式：y＝当x＝1+t时，y＝1 ∴点F（1+t，1） ∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠NCD，∠DEM＝∠MNC，且DM＝CM， ∴△DEM≌△CNM（AAS） ∴EM＝MN，DE＝CN＝2﹣t， ∵CF＝BC﹣BF＝2
∴NF＝CF+CN＝2﹣t+2＝4﹣t， ∵∠EMF为直角，
∴∠EMF＝∠NMF＝90°，且EM＝MN，MF＝MF， ∴△EMF≌△NMF（SAS）， ∴EF＝NF， ∴
t＝4﹣t
﹣4
∴t＝4
2024年中考数学压轴题专项训练：反比例函数的综合（含答案）
