[2024·江南十校]已知椭圆C:焦点，已知三角形
xa
22
yb
2
2
1ab
0，B为其短轴的一个端点，
13．
F1，F2分别为其左右两个
BF1F2的面积为
2，且cosF1BF2
（1）求椭圆C的方程；（2）若动直线l:y且x1
2
kxmm0,k
2
23
与椭圆C交于Px1,y1，Qx2,y2，M为线段PQ的中点，
x
2
2
3，求OMPQ的最大值．
[来源学+科+网]
【答案】（1）
x
3
2
y2
2
1；（2）
2a
2
52
．
【解析】（1）由cosF1BF2cosF1BF2结合S△FBF
1
4c
2
2
13
ca
22
13
2a
223a
2
a
2
3c，b
2
2
2c，
2
1312a
2
sinF1BF2223
2
，3，
b
2
2
2，
故椭圆C的方程为另解：依题意：解得a
2
x
2
y
2
3
1
2
2
12
1．
2cb
bc
2，cosF1BF2
S△FBF
2
2cos
2
F1BF22
1
13b2a
2
2，3
3，by2x
2，故椭圆C的方程为kx
m
2
x
2
y
2
3
6kmx
2
3m
1．
2
2
2
2
2
（2）联立
2
3y6
3k
2
2x
2
60Δ243k2m03k2
m．
且x1
x2
21
6km3kx
222
23
，x1x2
3m23k
x2
2
2
6；2
2x1x2
3
6km3k
2
22
依题意x
x1
6m3k
2
22
2
3，
[来源学科网]
2
化简得：3k
2
2
2m（∵3k2x2x
2122
22
2）；
2
1
22
21
22
设Mx0,y0，由
3y3y
2122
66
2xx3yyk
y1x1
y2x2
2x03y0
，
又y0
kx0
m，解得M
3k1
,2mm
OM
2
9k
2
2
43m
22
1
4m2m
，
PQ
2
1k
2
x1x2
2
1k
2
243k
2
22
m
2
2
22m
22
1
3k
OM
PQ
52
．当且仅当3
1m
2
2
m
OM
2
PQ
2
3
1m52
2
2
1m
2
254
，
2
1m
2
，即m2时，OMPQ的最大值为
．
1．[2024·柳州模拟]已知点F且PF
12PM
PF
12PM
1,0，直线l:x
0．
4，P为平面内的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点M，
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F作直线l1（与x轴不重合）交C轨迹于A，B两点，求三角形面积原点）
OAB的取值范围．（O为坐标
2．[2024·雷州期末]如图，已知抛物线C:y两条直线与
2
2px和M:x4
2
y
2
1，过抛线C上一点Hx0,y0y0174
1作．
M相切于A、B两点，分别交抛物线于E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为
（1）求抛物线C的方程；（2）当
AHB的角平分线垂直
x轴时，求直线
EF的斜率；
（3）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．
3．[2024·周口调研]已知直线y
x
p2
与抛物线C:y
2
2pxp0交于B，D两点，线段BD的中点为A，点
F为C的焦点，且△OAF（O为坐标原点）的面积为1．
（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点G2,2作斜率为kkQ两点，求PQ的最大值．
2的直线l与C交于M，N两点，直线OM，ON分别交直线y
x
2于P，
[来源:Zxxk.Com]
1．【答案】（1）
x
2
y
2
43
（2）0,1；
32
．
【解析】（1）设动点Px,y，则M由PF即
2
4,y，
2
来源:Z[§xx§k.Com]
12
PM14
PF
2
12x
PM
2
0，
2
PF14x
2
14
PM，
2
PF
PM，
1y
4，化简得
x
2
y
2
43
1．
32
32
（2）由（1）知轨迹C的方程为
12
32
x
2
y
2
43
1，当直线l1斜率不存在时A
1,
，B
1,
，
S△OAB
ABOF
，
l方程为x
当直线l1斜率存在时，设直线
x由
x
2
my1m0，设Ax1,y1，Bx2,y2，
myy
2
11
，得3m
2
4y
2
6my90．
43
2
则Δ144m
12
144
0，y1
12
y2
6m3my1
2
4y2
，y1y2
2
93m
2
4
，36m
2
2
S△OAB
OFy1y214y1y2
12t
363m1
2
3m
2
4
4
6
m3m
2
14
2
2
，
令m
2
1tt1，则S△OAB6
3t1t
2
t1
2
6
9t
2
6t1
69t0，16，
1t
，6
令ftft
9t9t
1t1t
6，则f6在1,
t9，当t1时，ft
上单调递增，ft0,32
f1．
S△OAB
6
116
32
，
综上所述，三角形2．【答案】（1）y
2
OAB面积的取值范围是
x；（2）
14
；（3）11．
4
p2
174，∴p
12
，即抛物线C的方程为y
2
【解析】（1）∵点M到抛物线准线的距离为（2）∵当
x．
AHB的角平分线垂直
yHxHy2x2
x轴时，点H4,2，∴kHEy1x1y1x1
yHxHy2y
2
2
kHF，yHy．
2H
设Ex1,y1，Fx2,y2，∴∴y1
y2
2yH
4．kEF
y2x2y1y
21
，∴
1y2
yHy
2H
y1y
21
y2y
22
，
1y1
4
2024高考数学冲刺大题精做9圆锥曲线：范围(最值)问题(理)(学生版)及答案
