1.9不定积分
一、知识要点
（一）不定积分的概念
1. 原函数的概念
若在区间(a,b)内，可导函数F(x)的导数为f(x)，即对任意的x?(a,b)，都有
F?(x)?f(x)或dF(x)?f(x)dx
则称F(x)是f(x)在区间(a,b)内的原函数.
2.若F(x)是f(x)在(a,b)内的一个原函数，则F(x)?C也是f(x)在(a,b)内的原函数，其中C为任意常数．
3.若F(x)和G(x)都是f(x)在(a,b)内的原函数，则F(x)?G(x)?C0（C0为某常数）． 4.（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间M上连续，则函数f(x)在区间M上一定存在原函数．
5.不定积分的概念
设函数F(x)是f(x)的一个原函数，则为
的不定积分，记作：
的全体原函数
(
为任意常数)称
?f(x)dx
称为被积函数，
称为被积表达式， 称为积
其中记号
称为积分号，
分变量，C称为积分常数.
不难看出，求已知函数的不定积分，就是求出它的一个原函数，再加上任意常数.
即
?f(x)dx?F(x)?C
(二) 不定积分的基本性质
?性质1 ?f(x)dx??f(x)???或d?f(x)dx?f(x)dx
性质2
?F?(x)dx?F(x)?C??或?dF(x)?F(x)?C
(a?0)
性质3 af(x)dx?af(x)dx性质4
??f(x)?g(x)?dx??f(x)dx??g(x)dx ??af(x)?bg(x)?dx?a?f(x)dx?b?g(x)dx
性质5
（三） 基本积分公式
（1）0dx?C（2）xdx?（3）
?
??1??1x?C (???1) ??11?xdx?lnx?C
1xx（4）?adx?a?C (a?0,a?1)
lna（5）exdx?ex?C
?（6）sinxdx??cosx?C （7）cosxdx?sinx?C
??1??cos2xdx?tanx?C
12（9）?cscxdx??dx??cotx?C
sin2x（8）secdx?2（10）
?11?x2dx?arcsinx?C(??arccosx?C1)
（11）
1?1?x2dx?arctanx?C(??arccotx?C1)
（四）第一换元积分法
若函数F(u)是函数f(u)的原函数，且u??(x)可微，则F[?(x)]是f[?(x)]??(x)的原函数，且有
?f[?(x)]??(x)dx??f(u)du?F(u)?C?F[?(x)]?C
第一换元法也称为凑微分法，.
（五）凑微分形式
用第一换元法求不定积分时，常用以下的变量代换：
(1)?f(ax?b)dx?(2)??1f(ax?b)d(ax?b) (a?0)； a?1f(xn)xn?1dx??f(xn)dxn (n?0)；
nxxxx(3)(4) ?f(e)edx??f(e)de ；1f(lnx)dx??f(lnx)dlnx ；
x(5)(6)(7)?f(sinx)cosxdx??f(sinx)dsinx ； ?f(cosx)sinxdx???f(cosx)dcosx ；
?f(arcsinx)11?x2dx??f(arcsinx)darcsinx ；
(8)?f(arctanx)1dx??f(arctanx)darctanx ； 21?x(9)(10)
?f(tanx)sec2xdx??f(tanx)dtanx ；
2?f(cotx)cscxdx???f(cotx)dcotx .
（六）第二换元积分法
1.如果函数x??(t)单调和可微的，且??(t)?0，并有F(t)是f[?(t)]??(t)的原函数，则
F[??1(x)]是f(x)的原函数,且有
?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt?F(t)?C?F[(??1(x)]?C
2.三角换元 含nax?b，设t?22nax?b；含a2?x2，设x?asint；含x2?a2，设x?atant；
含x?a，设x?asect. 3.倒数代换：x?
1，也属于第二换元积分法. t
考研微积分学习指导-一元函数积分学
