高中数学阶段质量检测（二）平面向量北师大版必修4
阶段质量检测（二） 平面向量
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若3x－2(x－a)＝0，则向量x＝ ( ) A．2a 2C.a 5
B．－2a 2D．－a
5
解析：选B 由题意知3x－2x＋2a＝0，故x＝－2a. 2．若a为任一非零向量，b是模为1的向量，则下列各式： ①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1.
其中正确的是 ( ) A．①④ C．①②③
B．③ D．②③
解析：选B ①中，|a|的大小不能确定，故①错误；②中，两非零向量是否平行取决于方向是否相同或相反，故②错误；③显然正确；④中，向量的模是一个非负实数，故④错误．故选B.
3．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于 ( ) A．－2 C．－2或2
2
B.2 D．0
解析：选C 由题意知1×2－m＝0，∴m＝±2.
4．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝ ( ) A．－4 C．－2
B．－3 D．－1
解析：选B 因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋
n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
76
5．已知D是△ABC所在平面内一点，AD＝AB＋AC，则BD＝ ( )
1313A.C.7
BC 1313
BC 7
B.D.6
BC 1313
BC 6
7666
解析：选B 由题意，得BD＝BA＋AD＝－AB＋AB＋AC＝(AC－AB)＝
13131313
BC，所以选B.
6．某人在静水中游泳，速度为43 km/h，水流的速度为4 km/h.他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为( )
A．90° C．45°
B．30° D．60°
―→―→
解析：选D 如图，用OA表示水速，OB表示某人垂直游向对岸的速度，则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC.
―→―→
|AC||OB||v静|
于是tan∠AOC＝＝＝＝3，∴∠AOC＝60°，故选
―→―→|v水||OA||OA|D.
7．已知向量a，b满足|a|＝1，a⊥b，则向量a－2b在向量a方向上的投影为 ( ) A．1
B.7 727
7
C．－1 D.
解析：选A 设θ为向量a－2b与向量a的夹角，则向量a－2b在向量a方向上的投影为|a?a－2b?·aa－2a·b1－2b|cos θ.又cos θ＝＝＝，故|a－2b|cos θ＝|a|a－2b|·|a||a－2b|·|a||a－2b|1
－2b|·＝1.
|a－2b|
8．如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝ ( ) A．20 C．25
B.10 D.15
2
1731
解析：选C 由题意，知a＝－e1－e2，b＝－e1－e2，
2222所以a＋b＝－2e1－4e2， 所以|a＋b|＝?－2e1－4e2?
＝4|e1|＋16e1·e2＋16|e2|＝20＝25，故选C.
9．已知直角坐标系内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)使平面内的任一个向量c都可以唯一表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是 ( ) A．(－∞，0)∪(0，＋∞) C．(－∞，3)∪(3，＋∞)
B．(－∞，－3)∪(－3，＋∞) D．[－3,3)
2
22
解析：选B 由已知，知a与b不共线，即1×(2m－3)≠3m，∴m≠－3. 10. 如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F.
设AB＝a，AC＝b，AF ＝xa＋yb，则(x，y)为 ( )
?11?A.?，? ?22??11?C.?，? ?33?
?22?B.?，? ?33??21?D.?，? ?32?
1
解析：选C ∵AD＝DB，AE＝EC，∴F是△ABC的重心，则DF＝DC，∴AF＝AD＋
311211111
DF＝AD＋DC＝AD＋(AC－AD)＝AD＋AC＝AB＋AC＝a＋b，∴x3333333311
＝，y＝. 33
―→1―→―→1―→―→―→―→11．在矩形ABCD中，AE＝AB，BF＝BC，设AB＝(a,0)，AD＝(0，b)，当EF⊥
22|a|―→
DE时，求得的值为( )
|b|
A．3 C.3
B．2 D.2
―→―→―→1―→1―→?a?
解析：选D 如图，∵EF＝EB＋BF＝AB＋AD＝?，0?＋
22?2?
?0，b?＝?a，b?.
?2??22?????
―→―→―→―→1―→
DE＝DA＋AE＝－AD＋AB
2
????＝(0，－b)＋?，0?＝?，－b?， ?2??2?
ab|a|―→―→
又∵EF⊥DE，∴－＝0，∴＝2.
42|b|
12．已知Rt△ABC的斜边AB的长为4，点P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则
2
2
aaPA·PB的取值范围是 ( )
?35?A.?－，?
?22?
C．[－3,5]
?55?B.?－，? ?22?
D．[1－23，1＋23]
解析：选C 建立如图所示的直角坐标系，设A(a,0)，B(0，b)，P(x，y)，
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