2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题
一、选择题：
1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符 合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上。
．．．
(1) 设函数 f ( x) 在
,
内连续，其中二阶导数
f ( x) 的图形如图所示，则曲线
y
f ( x) 的拐点的个数为
(
)
(A)
0 (B)
1
(C)
2
(D)
3
【答案】（ C）
【解析】拐点出现在二阶导数等于 0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函
数异号。因此，由 f (x) 的图形可得，曲线 y f ( x) 存在两个拐点 .故选（ C） .
(2) 设 y
1 e2x (x 1)ex 是二阶常系数非齐次线性微分方程y
ay by cex 的一
2
3
个特解，则
(
)
(A) a 3,b 2, c
1
(B) a 3, b 2, c 1
(C) a 3,b 2, c 1
(D) a
3, b 2, c 1
【答案】（A ）
【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此
类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一
种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法
.
【解析】 由题意可知， 1
e2 x
、 1
ex
为二阶常系数齐次微分方程
y ay by 0 的解，所以2,1
2
3
为 特 征 方 程 r 2
ar b 0 的 根 ， 从 而 a (1 2)3， b 1 2
1.故选（ A）
n 1
2 ，从而原方程变为
y 3y 2 y
cex ，再将特解 y xex 代入得 c
(3) 若级数
n 1
an 条件收敛，则 x 3 与 x 3 依次为幂级数
nan ( x 1)n 的 (
)
(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点
(D) 发散点，发散点【答案】（B ）
【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
【解析】 因为
n 1
an 条件收敛， 即 x
2 为幂级数
n 1
an ( x 1) n 的条件收敛点， 所以
n 1
an ( x 1)n
的收敛半径为 1，收敛区间为 (0, 2) 。而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故
nan (x 1)n 的收
n 1
敛区间还是 (0, 2) 。因而 x
3 与 x
3 依次为幂级数
n 1
nan ( x 1)n 的收敛点，发散点 .故选（B ）。
1与直线
(4) 设 D 是第一象限由曲线 域，函数
2 xy 1 ， 4 xy y
f x, y dxdy
D
x ， y
3x 围成的平面区
()
f x, y 在 D 上连续，则
3
1 sin2
1
(A)
d 4
f r cos , r sin
rdr
2sin2
3
(B) d
4
1
sin 2 1
f r cos , r sin rdr
2sin 2
1
sin2 1 2sin 2
(C)
3 4
d
f r cos , r sin dr
1 sin2
(D) 3 1
4 2sin 2
df r cos , r sin dr
【答案】（B ）
【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分
【解析】先画出 D 的图形，
所以
f ( x, y)dxdy
D
3
1
d
1
sin 2
1 2sin 2
f (r cos ,r sin
)rdr ，故选（ B）
4
1 1
(5)
设矩阵A 1 2
1
d ，若集合 d 2
a ， b
1,2 ，则线性方程组 Ax b 有
1 4 a2
无穷多解的充分必要条件为
( )
(A) a, d (B) a, d (C) a, d (D) a, d
【答案】 D
1 1 1 1 2 a 1 4 a2
1 d d 2
1 0 0
1 1 0
1
1 d 1 (d 1)(d
【解析】 ( A, b)
a 1 (a 1)(a
2)
2)
，
由 r ( A) r ( A, b) 3 ，故 (6) 设二次型 f
1 2 3
a
1 或 a
2
，同时
d
1 或 d
2
。故选（ D）
x1, x2 , x3 在正交变换为 x
，若
1
3 2
Py 下的标准形为 2y12
1
2
3
y22 y32 ，其中
，则
在正交变换 x Qy 下的标准
P e , e ,e
形为
Q e , e ,e
f x , x , x
( )
(A) (B) (C) (D)
2y12 y22 y32 2y12 y22 y32 2y12 y22 y32 2y12 y22 y32
【答案】 (A)
【解析】由 x
Py ，故 f 0 1 0
0 0 1 . 0 1
xT Ax yT (PT AP) y 2 y12 y22
y32 .且
2
PTAP 0
0 1
Q P 0
0
0 0
PC
1 0
2 0
T
T
0 0 1 0 0 1
QT AQ CT (PT AP)C0
所以 f
x Ax y (Q AQ) y
T
2y12
y2
2
y
2
3 。选（ A ）
(7) 若 A,B 为任意两个随机事件，则
(A)
(
)
P AB PAPB
(B)
PAB PAPB
P A P
B
P( A) P( B)
(C) P( AB)
2
(D) P AB
2
【答案】 (C) 【解析】由于 AB
A, AB B ，按概率的基本性质， 我们有 P( AB)
P( A) 且 P( AB)
P(B) ，
P( A) P( B)
从而 P( AB)
2
，选 (C) .
(8) 设随机变量
X ,Y 不相关，且 EX 2, EY 1, DX 3，则 E X X Y 2
(
)
(A) 3 (B) 3
(C)
5
(D)
5
【答案】 (D)
【解析】 E[X(X
Y 2)] E(X 2
XY
2 X ) E(X 2)
E( XY) 2E(X )
D(X) E2(X)
E(X ) E(Y) 2E( X )
3 22 2 1 2
2
5，选 (D) .
二、填空题： 9
14 小题 ,每小题 4 分 ,共 24 分 .请将答案写在答题纸 指定位置上 .
．．．
(9) lim ln cos x
2
_________.
x 0
x
【答案】
1
2
【分析】此题考查
0
型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换
0
sin x
【解析】方法一：
ln(cos x)
lim 2
limtan x
1
cos x
lim
.（罗比达法则）
x 0
x 0
x
2x
x
0
2x
2
1 方法二：
ln(cos x) lim ln(1 cosx 1)
lim cos x 1lim
2x 2
1 lim
x
0 x 0
x 0
x x 0
x
x
x
2
换）
(10)
2 ( sin x x )dx ________.
2 1 cosx
2
【答案】
π
4
【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简
.
2
2
【解析】
2
sin x
x dx 2
xdx .
2
1 cosx
0
4
(11)若函数 z
z( x, y) 由方程
确定，则 dz (0,1) ________.
【答案】
dx【分析】此题考查隐函数求导
.
.
（等价无穷小替
2015年考研数学一真题与答案解析
