第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷
本卷共8题，满分160分。
一、（17分）设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静，初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触。已知湖水密度为?；物块边长为b，密度为?'，且?'??。在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。
解：
由于湖面足够宽阔而物块体积很小，所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变，因此，可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立坐标系，以下简称x系. 设物块下底面的坐标为x，在物块未完全浸没入湖水时，其所受到的浮力为
fb?b2x?g
(x?b) (1)
式中g为重力加速度.物块的重力为
fg?b3??g (2) 设物块的加速度为a，根据牛顿第二定律有
b3??a?fg?fb (3) 将(1)和(2)式代入(3)式得
a????x?b? (4)
?b???将x系坐标原点向下移动
??b/? 而建立新坐标系，简称
?g????X系.
1 / 261 / 26
新旧坐标的关系为 把(5)式代入(4)式得
a??X?x???b ? (5)
?gX ??b (6)
(6)式表示物块的运动是简谐振动. 若X?0，则a?0，对应于物块的平衡位置. 由(5)式可知，当物块处于平衡位置时，物块下底面在x系中的坐标为
x0???b ? (7)
物块运动方程在X系中可写为
X(t)?Acos??t??? (8)
利用参考圆可将其振动速度表示为
V(t)??A?sin??t???
(9)
式中?为振动的圆频率 ???g (10) ?'b在(8)和(9)式中A和?分别是振幅和初相位，由初始条件决定. 在物块刚被释放时，即t?0时刻有x=0，由(5)式得(11)
V(0)?0
X(0)????b ?
(12)
由(8)至(12)式可求得
A???b? (13)
???(14)
将(10)、(13)和(14)式分别代人(8)和(9)式得
2 / 262 / 26
V(t)??X(t)???bcos??t??? ? (15
??gbsin??t??? (16) ?由(15)式可知，物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期；但物块的运动始终由(15)表示是有条件的，那就是在运动过程中物块始终没有完全浸没在湖水中. 若物块从某时刻起全部浸没在湖水中，则湖水作用于物块的浮力变成恒力，物块此后的运动将不再是简谐振动，物块再次返回到初始位置所需的时间也就不再全由振动的周期决定. 为此，必须研究物块可能完全浸没在湖水中的情况. 显然，在x系中看，物块下底面坐标为b时，物块刚好被完全浸没；由(5)式知在X系中这一临界坐标值为
X?Xb??1??b （17）即物
???????块刚好完全浸没在湖水中时，其下底面在平衡位置以下X处. 注意到在振动过程中，物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠A，下面分两种情况讨论：
I．A?X. 由(13)和(17)两式
??2?? (18)
在这种情况下，物块在运动过程中至多刚好全部浸没在湖水中. 因而，物块从初始位置起，经一个振动周期，再次返回至初始位置. 由(10)式得振动周期
bb
T?2???b?2???g (19)
物块从初始位置出发往返一次所需的时间
tI?T?2???b (20) ?g3 / 263 / 26
II．
A?Xb.
由(13)和(17)两式得
??2??
(21)
在这种情况下，物块在运动过程中会从某时刻起全部浸没在湖水表面之下. 设从初始位置起，经过时间t1物块刚好全部浸入湖水中，这时X?t??X. 由(15)和(17)式得
1b 取合理值，有
t1?????cos??t1????1? ?? (22)
??????b???arccos?1????? ?g????? (23) 由
上式和(16)式可求得这时物块的速度为
?????V(t1)??gb1-??1??????2 (24)
此后，物块在液体内作匀减速运动，以a?表示加速度的大小
由牛顿定律有
a??????g ?? (25)
2设物块从刚好完全浸入湖水到速度为零时所用的时间为t，有
V?t1??a?t2?0
(26)
由(24)-(26)得
?????b??t2?1???1?(????)g?????2 (27)
物块从初始位置出发往返一次所需的时间为
???????b???2??b??tII?2(t1?t2)?2??arccos?1?1???1??????g??????(????)g?????2 (28)
评分标准：
4 / 264 / 26
本题17分.（6）式2分，（10）（15）（16）（17）（18）式各1分，（20）式3分，（21）式1分，（23）式3分，（27）式2分，（28）式1分.
二、（23分）设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯，电梯顶端可超过地球的同步卫
星高度R（从地心算起）延伸到太空深处。这种所谓的太空电梯可用于低成本地发射绕地人造卫星，其发射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提升到某高度，然后启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去。 1、设在某次发射时，卫星在太空电梯中极其缓慢地匀速上升，该卫星在上升到0.80R处意外地和太空电梯脱离（脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零）而进入太空。 （1）论证卫星脱落后不会撞击地面。
（2）如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇，即可在它们相遇时回收该卫星。讨论该卫星从脱落时刻起，在0~12小时及12~24小时两个时间段内被太空该电梯回收的可能性。
2、如果太空电梯地点位于东经110度处，在太空电梯上离地心距离为RX处有一卫星从电梯脱落（脱落时卫星相对于太空电梯上脱落处的速度可视为零），脱落后该卫星轨道刚好能和赤道某处相切，而使卫星在该点着地，试求卫星着地点的经度。提示：此问要用数值方法求解高次方程。
246已知：地球质量M?6.0?10kg，半径Re?6.4?10m的球体；引力恒量
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