高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课时
作业新人教A版必修4
选题明细表
知识点、方法 向量的加法运算 向量加法与平面几何的综合应用 向量加法的实际应用 基础巩固
1.如图所示,在?ABCD中,
+
+
等于( A )
题号 1,2,3,4 5,6,7,10,11,12,13 8,9
(A)(B)(C)(D)解析:
+
+
=
+
+
=
+0=
.故选A.
+
等于( C )
2.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则
(A)
(B)
(C)
(D)+
=
,如图所示,而
=
.故选C.
解析:在原图上取点M,使
3.下列说法正确的是( B ) (A)0+0=0
(B)对任意向量a,b都有a+b=b+a (C)对任意a,b都有|a+b|>0 (D)等式|a+b|=|a|+|b|不可能成立
解析:选项A不正确;选项B正确;选项C不正确,对任意a,b都有|a+b|≥0;选项D不正确,当a与b同向或其中一个(或两个)向量为0时,|a+b|=|a|+|b|,故选B. 4.下列向量的运算结果为零向量的是( D ) (A)(C)
++
(B)+
++=(+
+=0.
+
=
成立时,点P位于( D )
=
+(D)
++
++=)+
+
+
+=
+;D项,
=++
++
+==(;C项,
+
+ )+
解析:A项,+(
+
+)=
;B项,=0+
5.已知P为△ABC所在平面内一点,当
(A)△ABC的AB边上 (B)△ABC的BC边上 (C)△ABC的内部 (D)△ABC的外部 解析:如图,
+
=
,则P在△ABC的外部.
6.如图,在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|
+
+
|= .
解析:因为所以|答案:2
7.对于任意一个四边形ABCD,下列式子不能化简为(1)(3)
++
++
;(2);(4)
+=+++++=; .
++
=+
;在(2)中=
+
=
++=+. =
+
=
;在(3)中
的是 .
+
++
+|=|
=
+|=2.
+
=
,
解析:在(1)中+
+
=
+
;在(4)中
答案:(3)
8.已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h. (1)小船在河流中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少?
(2)如果小船在河南岸M处,对岸北偏东30°处有一码头N,小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头N?(河水自西向东流)
解:(1)小船顺流行驶时实际速度最大,最大值为20 km/h,小船逆流行驶时实际速度最小,最小值为 0 km/h,此时小船是静止的. (2)如图所示,设MA,|
|=|
表示水流的速度,
表示小船实际过河的速度.设MC⊥
|=10,∠CMN=30°,
因为
+
=
,
所以四边形MANB为菱形,
在△MNB中,||=||=10,
所以∠BMN=60°,而∠CMN=30°,所以∠CMB=30°, 所以小船要由M直达码头N,其航向应为北偏西30°.
能力提升
9.(2024·宝塔区高一期中)已知向量a表示“向东航行3 km”,向量b表示“向南航行3 km”,则a+b表示( B )
(A)向东南航行6 km (B)向东南航行3 km (C)向东北航行3 km (D)向东北航行6 km 解析:设
=a,
=b,则OA=OB=3,OA⊥OB,
以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,由平行四边形法则可知因为OA⊥OB,OA=OB,所以平行四边形OACB是正方形, 所以OC方向为东南方向. 因为OA=OB=3,所以OC=3
.故选B.
+
|=|
+
|,则四边形ABCD是( B )
=a+b.
10.在平行四边形ABCD中,若|(A)菱形 (B)矩形 (C)正方形 (D)不确定
解析:因为四边形ABCD为平行四边形,所以所以|
|=|
|.
+=,+=.又|+|=|+|,
所以平行四边形ABCD为矩形. 11.设P为?ABCD所在平面内一点,则①成立的序号为 .
解析:以PA,PC为邻边作平行四边形PAEC,则PE与AC交于AC的中点O,同样以PB,PD为邻边作平行四边形PBFD,对角线BD与PF交于BD的中点O′,则O与O′重合,所以答案:②
+
=
+
.
+
=
+
;②
+
=
+
;③
+
=
+
中
12.如图所示,在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F,E,使BE=DF.
求证:四边形AECF是平行四边形. 证明:
=
+
,
=
+
,
=
. =
.所以
+
=
+
,即
=
,所以AE与FC
因为四边形ABCD是平行四边形,所以因为FD=BE,且
与
的方向相同,所以
平行且相等.所以四边形AECF是平行四边形.
探究创新
13.已知:O是正三角形ABC的重心,求证:证明:如图所示,根据平行四边形法则,作出
+=++=0.
,易知四边形OBEC为菱形.
所以OE平分∠BOC.由正三角形性质得 ∠AOC=∠BOC=120°, 所以∠EOC=60°, 所以∠AOE=180°, 所以A,O,E三点共线. |
|=|++
+|=|
|=|
|, +
+
=
+
=0.
所以故
=0,所以
=0成立.
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