?x?2?tx2y2??1，直线l：?已知曲线C：（t为 参数）. 49?y?2?2t(Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 若a?0,b?0，且
33o11??ab. ab(Ⅰ) 求a?b的最小值；
（Ⅱ）是否存在a,b，使得2a?3b?6？并说明理由.
理科数学试题答案 一、
选择题
（1）A （2）D （3）B （4）A （5）D （6）B （7）D （8）B （9）C （10）C （11）C （12）C 二、填空题
（13）-20 （14）A （15）90° （16）3 三、解答题
（17）解：
（I）由题设，anan?1??Sn?1,an?1an?2??Sn?1?1. 两式相减得 an?1(an?2?a)??an?1.
由于an?1?0，所以 an?2?an??. ……6分
（II）由题设，a1?1，a1a2??S1?1，可得a2???1. 由（I）知，a3???1. 令2a2?a1?a3，解得??4. 故an?2?an?4，由此可得
?a2n?1?是首项为1，公差为4的等差数列，a2n?1?4n?3； ?a2n?是首项为3，公差为4的等差数列，a2n?4n?1.
所以an?2n?1，an?1?an?2. 因此存在??4，使得数列?an?为等差数
列. ……12分 （18）解：
（I）抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为
x?170?0.02?180?0.09?190?0.22?200?0.33
?210?0.24?220?0.08?230?0.02 =200
s2?(?30)2?0.02?(?20)2?0.09?(?10)2?0.22
?0?0.33?102?0.24?202?0.08?302?0.02?150. …6分
（II）（i）由（I）知，Z~N(200,150)，从而
…
P(187.8?Z?212.2）=P(200?12.2?Z?200?12.2)?0.6826.
……9分
（ii）由（i）知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为0.682 6， 依题意知X-B(100，0.682 6)，所以EX?100?0.6826?68.26. ……12分 （19）解：
（I）连接BC1，交B1C于点O，连接AO，因为侧面BB1C1C为菱形，所以
B1C?BC1,且O为B1C及BC1的中点.
又AB?B1C,所以B1C?平面ABO.由于AO?平面ABO，故B1C?AO. 又B1O?CO,故AC=AB1.
（II）因为AC?AB1,且O为B1C的中点，所以AO?CO.
又因为AB?BC,所以?BOA??BOC,故OA?OB,从而OA,OB,OB1两两相互垂直， 以
O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz.因为?CBB1?60?,所以?CBB1为等边三角形.又AB?BC，则
33A(0，0，),B(1，0，0),B1(0,,0),C(0,?33uuurruuur33uuuuAB1?(0,,?),A1B1?AB?(1,0,?333,0).3
ruuur3uuuu3),B1C1?BC?(?1,?,0),33设n?(x,y,z)是平面AA1B1的法向量，则?33uuury?z=0，???n?AB1?0,?33即?r?uuuu3?n?A1B1?0,??x?z?0.?3?所以可取n?(1,3,3).
uuuur??m?A1B1?0,设m是平面A1B1C1的法向量，则?uuuur??m?B1C1?0, 同理可取m?(1,?3,3).cosn,m?则
n?m1?.nm71所以二面角A?A1B1?C1的余弦值为.7 ……
12分
（20）解：
223（I）设F(c,0)，由条件知，=，得c=3.c3c3又?,所以a=2, b2?a2?c2?1. a2x2故E的方程为?y2?1.4 ……5分
（II）当??x轴时不合题意，故设?:y=kx?2,P(x1,y1),Q(x2,y2).x2将y?kx?2代入?y2?1得4 (1?4k)x?16kx?12?0.
22
38k?24k2?3当?=16(4k?3)?0,即k?时，x1,2?.44k2?1224k2?1?4k2?3 从而PQ?k?1x1?x2?.24k?12又点O到直线PQ的距离d?.所以?OPQ的面积2k?12144k2?3S?OPQ=d?PQ?. 224k?1……9分
4t4?.t2?4t?4t47因为t??4,当且仅当t?2，即k??时等号成立，且满足??0.
t2所以，当?OPQ的面积最大时，?的方程为设4k2?3?t,则t?0,S?OPQ?y?77x?2或y??x?222 ……12分
（21）解：
abb（I）函数f(x)的定义域为(0,+?),f'(x)?aex1nx?ex?2ex?1?ex?1.xxx 由题意可得f(1)?2,f'(1)?e.故a?1,b?2.……5分
22（II）由（I）知f(x)?ex1n?ex?1,从而f(x)?1等价于x1nx?xe?x?.xe
设函数g(x)?x1nx,则g'(x)?1nx.11所以当x?(0,)时，g'(x)?0;当x?(,??)时，g'(x)?0.
ee11故g(x)在（0,）单调递减，在（,??）单调递增，从而g(x)在(0,?)的最小值为ee11g()=-.ee
……8分
2设函数h(x)?xe?x?,则h'(x)?e?x(1?x).e所以当x?(0,1)时h'(x)?0;当x?(1,??)时，h'(x)?0.故h(x)在（0,1）单调递增，1在(1,+?)单调递减，从而h(x)在(0,?)的最大值为h(1)??.e综上，当x?0时，g(x)?h(x),即f(x)?1.
2014年全国高考全国新课标i数学（理）试卷及答案[精校版]
