高等数学第六版上册课后习题答案
第一章
习题1?1
1? 设A?(??? ?5)?(5? ??)? B?[?10? 3)? 写出A?B? A?B? A\\B及A\\(A\\B)的表达式? 解 A?B?(??? 3)?(5? ??)? A?B?[?10? ?5)?
A\\B?(??? ?10)?(5? ??)? A\\(A\\B)?[?10? ?5)?
2? 设A、B是任意两个集合? 证明对偶律? (A?B)C?AC ?BC ? 证明 因为
x?(A?B)C?x?A?B? x?A或x?B? x?AC或x?BC ? x?AC ?BC? 所以 (A?B)C?AC ?BC ?
3? 设映射f ? X ?Y? A?X? B?X ? 证明
(1)f(A?B)?f(A)?f(B)? (2)f(A?B)?f(A)?f(B)? 证明 因为
y?f(A?B)??x?A?B? 使f(x)?y ?(因为x?A或x?B) y?f(A)或y?f(B) ? y?f(A)?f(B)?
所以 f(A?B)?f(A)?f(B)? (2)因为
y?f(A?B)??x?A?B? 使f(x)?y?(因为x?A且x?B) y?f(A)且y?f(B)? y? f(A)?f(B)? 所以 f(A?B)?f(A)?f(B)?
4? 设映射f ? X?Y? 若存在一个映射g? Y?X? 使g?f?IX? f?g?IY? 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射? 即对于每一个x?X? 有IX x?x? 对于每一个y?Y? 有IY y?y? 证明? f是双射? 且g是f的逆映射? g?f ?1?
证明 因为对于任意的y?Y? 有x?g(y)?X? 且f(x)?f[g(y)]?Iy y?y? 即Y中任意元素都是X中某元素的像? 所以f为X到Y的满射?
又因为对于任意的x1?x2? 必有f(x1)?f(x2)? 否则若f(x1)?f(x2)?g[ f(x1)]?g[f(x2)] ? x1?x2? 因此f既是单射? 又是满射? 即f是双射?
对于映射g? Y?X? 因为对每个y?Y? 有g(y)?x?X? 且满足f(x)?f[g(y)]?Iy y?y? 按逆映射的定义? g是f的逆映射?
5? 设映射f ? X?Y? A?X ? 证明? (1)f ?1(f(A))?A?
(2)当f是单射时? 有f ?1(f(A))?A ?
证明 (1)因为x?A ? f(x)?y?f(A) ? f ?1(y)?x?f ?1(f(A))? 所以 f ?1(f(A))?A?
(2)由(1)知f ?1(f(A))?A?
另一方面? 对于任意的x?f ?1(f(A))?存在y?f(A)? 使f ?1(y)?x?f(x)?y ? 因为y?f(A)且f是单射? 所以x?A? 这就证明了f ?1(f(A))?A? 因此f ?1(f(A))?A ? 6? 求下列函数的自然定义域? (1)y?3x?2?
解 由3x?2?0得x??2? 函数的定义域为[?2, ??)?
33 (2)y?12?
1?x 解 由1?x2?0得x??1? 函数的定义域为(??? ?1)?(?1? 1)?(1? ??)? (3)y?1?1?x2?
x 解 由x?0且1?x2?0得函数的定义域D?[?1? 0)?(0? 1]? (4)y?1? 4?x2 解 由4?x2?0得 |x|?2? 函数的定义域为(?2? 2)? (5)y?sinx?
解 由x?0得函数的定义D?[0? ??)? (6) y?tan(x?1)?
解 由x?1??(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)得函数的定义域为x?k????1 (k?0? ?1? ?2? ? ? ?)?
22 (7) y?arcsin(x?3)?
解 由|x?3|?1得函数的定义域D?[2? 4]?
(8)y?3?x?arctan1?
x 解 由3?x?0且x?0得函数的定义域D?(??? 0)?(0? 3)? (9) y?ln(x?1)?
解 由x?1?0得函数的定义域D?(?1? ??)? (10)
1y?ex?
解 由x?0得函数的定义域D?(??? 0)?(0? ??)?
7? 下列各题中? 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)?lg x2? g(x)?2lg x? (2) f(x)?x? g(x)?x2? (3)f(x)?3x4?x3?g(x)?x3x?1?
(4)f(x)?1? g(x)?sec2x?tan2x ? 解 (1)不同? 因为定义域不同?
(2)不同? 因为对应法则不同? x?0时? g(x)??x? (3)相同? 因为定义域、对应法则均相相同? (4)不同? 因为定义域不同?
??|sinx| |x|??3? 求?(?)? ?(?)? ?(??)? ?(?2)? 并作出函数y??(x)的图形? 8? 设?(x)??644 |x|???0 3? 解 ?(?)?|sin?|?1? ?(?)?|sin?|?2? ?(??)?|sin(??)|?2? ?(?2)?0? 442442662 9? 试证下列函数在指定区间内的单调性? (1)y?x? (??? 1)?
1?x (2)y?x?ln x? (0? ??)?
证明 (1)对于任意的x1? x2?(??? 1)? 有1?x1?0? 1?x2?0? 因为当x1?x2时? y1?y2?x1xx1?x2?2??0? 1?x11?x2(1?x1)(1?x2)所以函数y?x在区间(??? 1)内是单调增加的?
1?x (2)对于任意的x1? x2?(0? ??)? 当x1?x2时? 有 y1?y2?(x1?lnx1)?(x2?lnx2)?(x1?x2)?lnx1?0? x2所以函数y?x?ln x在区间(0? ??)内是单调增加的?
10? 设 f(x)为定义在(?l? l)内的奇函数? 若f(x)在(0? l)内单调增加? 证明f(x)在(?l? 0)内也单调增加?
证明 对于?x1? x2?(?l? 0)且x1?x2? 有?x1? ?x2?(0? l)且?x1??x2?
因为f(x)在(0? l)内单调增加且为奇函数? 所以
f(?x2)?f(?x1)? ?f(x2)??f(x1)? f(x2)?f(x1)?
这就证明了对于?x1? x2?(?l? 0)? 有f(x1)? f(x2)? 所以f(x)在(?l? 0)内也单调增加? 11? 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(?l? l)上的? 证明? (1)两个偶函数的和是偶函数? 两个奇函数的和是奇函数?
(2)两个偶函数的乘积是偶函数? 两个奇函数的乘积是偶函数? 偶函数与奇函数的乘积是奇函数?
证明 (1)设F(x)?f(x)?g(x)? 如果f(x)和g(x)都是偶函数? 则 F(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)?g(x)?F(x)? 所以F(x)为偶函数? 即两个偶函数的和是偶函数?
如果f(x)和g(x)都是奇函数? 则
F(?x)?f(?x)?g(?x)??f(x)?g(x)??F(x)? 所以F(x)为奇函数? 即两个奇函数的和是奇函数?
(2)设F(x)?f(x)?g(x)? 如果f(x)和g(x)都是偶函数? 则 F(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)?g(x)?F(x)? 所以F(x)为偶函数? 即两个偶函数的积是偶函数? 如果f(x)和g(x)都是奇函数? 则
F(?x)?f(?x)?g(?x)?[?f(x)][?g(x)]?f(x)?g(x)?F(x)? 所以F(x)为偶函数? 即两个奇函数的积是偶函数? 如果f(x)是偶函数? 而g(x)是奇函数? 则
F(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)[?g(x)]??f(x)?g(x)??F(x)? 所以F(x)为奇函数? 即偶函数与奇函数的积是奇函数?
12? 下列函数中哪些是偶函数? 哪些是奇函数? 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y?x2(1?x2)? (2)y?3x2?x3?
21?x (3)y?? 1?x2 (4)y?x(x?1)(x?1)? (5)y?sin x?cos x?1?
x?xa?a (6)y?? 2 解 (1)因为f(?x)?(?x)2[1?(?x)2]?x2(1?x2)?f(x)? 所以f(x)是偶函数? (2)由f(?x)?3(?x)2?(?x)3?3x2?x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数?
1?(?x)21?x2 (3)因为f(?x)???f(x)? 所以f(x)是偶函数? 221???x?1?x (4)因为f(?x)?(?x)(?x?1)(?x?1)??x(x?1)(x?1)??f(x)? 所以f(x)是奇函数? (5)由f(?x)?sin(?x)?cos(?x)?1??sin x?cos x?1可见f(x)既非奇函数又非偶函数?
(?x)?(?x)?xxa?aa?a (6)因为f(?x)???f(x)? 所以f(x)是偶函数?
22 13? 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数? 指出其周期? (1)y?cos(x?2)?
解 是周期函数? 周期为l?2?? (2)y?cos 4x?
解 是周期函数? 周期为l???
2 (3)y?1?sin ?x?
解 是周期函数? 周期为l?2? (4)y?xcos x?
解 不是周期函数? (5)y?sin2x?
解 是周期函数? 周期为l??? 14? 求下列函数的反函数? (1)y?3x?1?
解 由y?3x?1得x?y3?1? 所以y?3x?1的反函数为y?x3?1? (2)y?1?x?
1?x1?y 解 由y?1?x得x?? 所以y?1?x的反函数为y?1?x?
1?y1?x1?x1?x (3)y?ax?b(ad?bc?0)?
cx?d?dy?b 解 由y?ax?b得x?? 所以y?ax?b的反函数为y??dx?b?
cy?acx?dcx?dcx?a (4) y?2sin3x?
y 解 由y?2sin 3x得x?1arcsin? 所以y?2sin3x的反函数为y?1arcsinx?
3232 (5) y?1?ln(x?2)?
解 由y?1?ln(x?2)得x?ey?1?2? 所以y?1?ln(x?2)的反函数为y?ex?1?2?
x (6)y?2? x2?1xxy22 解 由y?x得x?log2? 所以y?x的反函数为y?log2x?
1?y1?x2?12?1 15? 设函数f(x)在数集X上有定义? 试证? 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上
既有上界又有下界?
证明 先证必要性? 设函数f(x)在X上有界? 则存在正数M? 使|f(x)|?M? 即?M?f(x)?M? 这就证明了f(x)在X上有下界?M和上界M?
再证充分性? 设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2? 即K1?f(x)? K2 ? 取M?max{|K1|? |K2|}? 则 ?M? K1?f(x)? K2?M ? 即 |f(x)|?M?
这就证明了f(x)在X上有界?
16? 在下列各题中? 求由所给函数复合而成的函数? 并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值?
(1) y?u2? u?sin x? x1??? x2???
63 解 y?sin2x? y1?sin2??(1)2?1?y2?sin2??(3)2?3?
324624 (2) y?sin u? u?2x? x1???x2???
84 解 y?sin2x? y1?sin(2??)?sin??2?y2?sin(2??)?sin??1? 84242 (3)y?u? u?1?x2? x1?1? x2? 2?
解 y?1?x2? y1?1?12?2? y2?1?22?5? (4) y?eu? u?x2? x1 ?0? x2?1? 解 y?ex? y1?e0?1? y2?e1?e?
(5) y?u2 ? u?ex ? x1?1? x2??1?
解 y?e2x? y1?e2?1?e2? y2?e2?(?1)?e?2?
17? 设f(x)的定义域D?[0? 1]? 求下列各函数的定义域? (1) f(x2)?
解 由0?x2?1得|x|?1? 所以函数f(x2)的定义域为[?1? 1]? (2) f(sinx)?
解 由0?sin x?1得2n??x?(2n?1)? (n?0? ?1? ?2? ? ?)? 所以函数f(sin x)的定义域为 [2n?? (2n?1)?] (n?0? ?1? ?2? ? ?) ? (3) f(x?a)(a>0)?
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同济大学第六版高等数学上册课后答案全集
