第 2 课时 组合的综合应用
A 级：基础巩固练
一、选择题
1 .在平面直角坐标系
xOy中，平行直线
)
x = m(mt= 0,1,2,3,4) 与平行直线 y = n(n =
0,1,2,3,4) 组成的图形中，矩形共有 (
A. 25个 B . 100 个 C . 36个 D . 200个 答案 B
解析 可以组成C5?C= 10X 10= 100个矩形?故选 B.
2. 某龙舟队有 9 名队员，其中 3 人只会划左舷， 4 人只会划右舷， 2 人既会划左舷又会 划右舷.现要选派划左舷的 3 人、右舷的 3 人共 6 人去参加比赛， 则不同的选派方法共有 (
A. 56 种 B . 68 种 C . 74 种 D . 92 种 答案 D
解析 根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选 派方法有CC6种，有一个“多面手”的选派方法有
dc3E种，有两个“多面手”的选派方法有
)
C3C4种，即共有20+ 60+ 12 = 92种不同的选派方法.
3.
有可能出现的情形 (各
人输赢局次的不同视为不同情形 )共有(
A. 10 种 B . 15 种 C . 20 种 D . 30 种 答案 C
解析 按比赛局数分类：3局时有2种，4局时有2C3种，5局时有2C4种，故共有2+ 2C3+ 2C4=
2
两人进行乒乓球比赛，先赢 3 局者获胜，决出胜负为止，则所
)
20 种.选 C.
4. 某同学有同样的画册 2本，同样的集邮册 3本，从中取出 4本赠送给 4位朋友，每位 朋友 1 本，则不同的赠送方法共有 (
)
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A．4 种 B ．10 种 C ．18 种 D ．20 种 答案 B
解析 分两种情况：①选 2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C4= 6种方法；②选1 本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C4 = 4种方法，所以不同的赠送方法共有 6+ 4= 10（种）?故 选 B.
5 ?某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各
2名，
分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐 4名同学 （乘同一辆车的 4名同学不考虑位置 ），其中大一的 孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学来自同一年级的乘车方式共 有 （ ）
A. 24 种 B ? 18 种 C ? 48 种 D ? 36 种 答案 A
解析 第一类：大一的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下 2 名同学要来自不同的年级，从 三个年级中选两个年级，有 C种选法，然后从选出的两个年级中再分别选
选法，剩下的4名同学乘坐乙车，则有 dc：c2= 3X 2X 2= 12种乘车方式；
第二类：大一的孪生姐妹不在甲车上，则从剩下的三个年级中选同一个年级的 在甲车上，有 CC2种选法，然后再从剩下的两个年级中分别选
2 名同学
1名同学，有de；种
1名同学，有CC1种选法，则有
ddc；c；= 3X 1X 2X 2= 12种乘车方式.因此共有 12+ 12= 24种不同的乘车方式.故选 A.
二、填空题
6．有编号为 1,2,3 的3个盒子和 10个相同的小球，现把这 1 0个小球全部装入 3个盒子 中，使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这种装法共有
答案 15种
解析 将编号为 1,2,3 的盒子分别放入 1 个， 2个， 3个小球，将剩下 4个球放入三个盒 子有四类情况， 即“4＋0＋0”“3＋ 1＋0”“2＋ 2＋0”“1＋1＋2”，故共有 c3＋A3＋c3＋c3= 15
1
2
1
1
________
（种）．
7．在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖，将这 8 张奖券分配给 4 个人， 每人 2张，不同的获奖情况有 ____________ 种（用数字作答 ）．
答案 60
解析 只需看 3 张有奖的分配情况就可以，有两类．
① 4人中每人至多1张有奖，共有 应=4X 3X 2= 24种获奖情况?②4人中，有1人2张 有奖，还有1人1张有奖，其余的2人无奖.共有分法：ChA= 3X 4X 3= 36.
2
总之，共有 24＋36=60 种不同的获奖情况．
8．将并排的有不同编号的 5个房间安排给 5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择 任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有 2 个房间无人选择且这 2 个房间不相邻的安 排方式的种数为 _______________________
答案 900
解析 先将5人分成三组（1,1,3或2,2,1两种形式），再将这三组人安排到 3个房间，然 后将2
- 2 -
个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可，故安排方式共有 ddc ddd
3
3
2
丄
AP + 可?A3?C 4= 900（种）.
三、解答题
9 .已知平面a //平面卩，在a内有4个点，在卩内有6个点. （1） 过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？ （2） 以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？ （3） 上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？ 解（1）所作出的平面有三类： ① ② ③
a内1点，卩内2点确定的平面，有& a内2点，卩内1点确定的平面，有C ?C个.
2
1
2
个.
a ,卩本身，有2个.
故所作的平面最多有 d+ C4+ 2= 98（个）. 所以最多可作98个不同的平面. （2） 所作的三棱锥有三类： ① ② ③
a内1点，卩内3点确定的三棱锥，有 Ci ?C3个. a内2点，卩内2点确定的三棱锥，有 d个. a内3点，卩内1点确定的三棱锥，有 C4个.
最多可作出的三棱锥有：
C4 ?C+ C ?c6+ C ?C= 194（个）.
3
2
3
1
所以最多可构成194个三棱锥.
（3） T当等底面积、等高的情况下三棱锥体积才能相等. .体积不相同的三棱锥最多有
C6+C4+ C6?c4= 114（个）.
所以最多有114个体积不同的三棱锥.
B级：能力提升练
10.在运动会上，某代表队中赛艇运动员有 人左右两舷都会划，现要从中选
10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余 5
6人上艇，平均分配在两舷上划桨，有多少种不同的选法？
解 按照只会划左舷被选中的人数进行分类.
第1类，不选只会划左舷的 2人，需先在两舷都会划的
5人中选3人划左舷，有 a种选
法，再在剩下的5人中选3人划右舷，有 C种选法，故共有C5C5= 100种选法；
第2类，只会划左舷的1人入选，有C；种选法，需先在两舷都会划的 舷，再在会划右舷的 6人中选3人划右舷，共有 OC5C= 400种选法；
3
5人中选2人划左
第 3 类，只会划左舷的 2 人都入选，有 C2 种选法，先从两舷都会划的 5 人中选 1 人划左 舷，再从会划右舷的 7人中选3人划右舷，共有 CC5C= 175种选法.
2
3
由分类加法计数原理，知共有 100+ 400+ 175 = 675种不同的选法.
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高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第2课时组合的综合应用精练人教A版选修2_3
